1、 21.3 函数的简单性质 题型一 判定函数的单调性 学习目标预习导学典例精析栏目链接例 1 证明函数 f(x)x4x在(2，)上是增函数分析：利用增函数的定义 证明：设 x1，x2 是(2，)上的任意两个数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x14x1 x24x2 (x1x2)4x14x2 (x1x2)4（x2x1）x1x2 学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接(x1x2)1 4x1x2 (x1x2)x1x24x1x2.2x1x2，x1x20，x1x24，x1x240，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)函数 f(x)x4x在(2，)上是增函数 学
2、习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设 x1，x2是该区间内的任意两个值，且 x1x2；(2)作差变形：作差(x1)(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定(x1)(x2)的符号；(4)结论：根据 f(x1)(x2)的符号及定义判断单调性 学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接例 2 当 a0 时，讨论函数 f(x)axx21(1x1)的单调性分析：要判断 f(x)在(1，1)上的单调性，在(1，1)上任意取两个自变量 x1，x2，且 x1
3、x2，判定 f(x1)与 f(x2)的大小即可注意 x1，x2 的任意性，切不可选两个特殊值观察取代证明 解析：设1x1x21，则 f(x2)f(x1)ax2x221 ax1x211 a（x1x2）（x1x21）（x221）（x211），学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接因为1x1x21，所以 x1x20，x1x210，x2110，x2210.当 a0 时，f(x2)f(x1)，所以 f(x)为增函数 当 a0 时，f(x2)f(x1)，所以 f(x)为减函数 点评：函数的单调性是函数的重要性质之一，是函数在整个定义域或它的子集上的性质，同一函数在不同的区间可能有
4、不同的单调性在判定函数的单调性时，要注意 x1，x2 的任意性及范围；在判定f(x2)f(x1)的符号时，要注意把差式化简整理为因式之积或者是完全平方和等易判断符号的式子为止；含参数时，要注意讨论学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练 1设偶函数 f(x)满足 f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0(B)Ax|x4Bx|x4Cx|x6Dx|x2解析：由 f(x2)f(|x2|)，f(2)0，f(x)x38 为增函数得|x2|2x4.学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接2判断函数 yf(x)x25x6 在(，0)上的单调性解析：y
5、x522494，函数在，52 上单调递增，函数在(，0)上单调递增 学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接3证明函数 f(x)x31(xR)为减函数解析：在 R 上任取两个变量 x1，x2，且 x1x2，x2x10，而 x212x1 与 32 x1 不同时为零，否则 x1x20.x212x1232 x120，f(x1)f(x2)x 31 1 (x 32 1)x 32 x 31 (x2 x1)x212x1232 x120.f(x1)f(x2)f(x)x31(xR)为减函数 学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接4已知函数 f(x)x21，x0，
6、1，xf(2x)的解集解析：结合 yf(x)的图象知，要使不等式 f(1x2)f(2x)成立，必须1x20，1x22x 1xf(2x)的解集为(1，21)学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接5已知 a12，求证：函数 f(x)ax1x2 在区间(2，)上单调递增证明：设 x2x12，则 f(x2)f(x1)ax21x22 ax11x12（x2x1）（2a1）（x12）（x22），x2x12，a12，x2x10，2a10，x120，x220.f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)f(x)在(2，)上单调递增 学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典
7、例精析栏目链接6求函数 y|x1|的单调区间解析：函数 y|x1|的图象如图所示从图中可以看出函数在(，1)上是减函数，在1，)上为增函数 题型二 函数的最值 学习目标预习导学典例精析栏目链接例 3 求函数 y 2x1在区间2，6上的最大值和最小值分析：求函数最值问题，视函数解析式选择使用方法 解析：设 x1、x2 是区间2，6上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)2x112x21 2（x21）（x11）（x11）（x21）2（x2x1）（x11）（x21）.学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接由 2x1x26，得 x2x10，(x11)(x21)
8、0，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)所以，函数 y 2x1是区间2，6上的减函数 因此，函数 y 2x1在区间2，6的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在 x2 时取得最大值，最大值是 2，在 x6 时取得最小值，最小值是 0.4.点评：1.当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值 学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接2函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间a，b上是减函数，则(x)在a，b 上的最大值为(a)，最小值为(b)；(2)若函数在闭区间a，b上是增函数，则(x)在a，b上的最大值为(b)，最小值为(a)；(3
9、)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接例 3 已知 f(x)、g(x)均为奇函数，且 F(x)af(x)bg(x)2 在(0，)上有最大值 10，求 F(x)在(，0)上的最小值分析：构造一个函数，使其具备奇偶性，运用奇、偶函数的性质加以解决 解析：f(x)、g(x)均为奇函数，F(x)2af(x)bg(x)亦为奇函数，且在(0，)上有最大值8.根据奇函数的性质，F(x)2af(x)bg(x)在(，0)上有最小值8.F(x)af(x)bg(x)2 在(，0)上有最小值6.学习目标预习导学典例精析栏目
10、链接学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：对于一些抽象函数或系数中含有多个参数的函数求最值问题的解决方法是，通过构造一个具有奇偶性的函数，利用奇、偶函数的对称规律来解决问题变式训练 7将边长为 1 m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S（梯形的周长）2梯形的面积，求 S 的最小值学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：设剪成的小正三角形的边长为 x，则 S（3x）234（1x2）(0 x1)，令 3xt，则 t(2，3)，1t13，12，则 S 43t2t26t8 4318t26t1 43181t38218.当1t38，即 x1
11、3时，S min32 33.学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接8求函数 f(x)x22x3 在下列区间上的最大值与最小值(1)3，0；(2)1，1；(3)2，4解析：f(x)(x1)24 的对称轴为直线 x1，增区间为1，)，减区间为(，1(1)ymaxf(3)12，yminf(0)3；(2)ymaxf(1)0，yminf(1)4；(3)ymaxf(4)5，yminf(2)3.题型三 函数奇偶性的判定 学习目标预习导学典例精析栏目链接例 4 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)(x1)1x1x；(2)f(x)4x2|x3|x.分析：定义域关于原点对称，是函数具备奇偶
12、性的前提条件 解析：(1)函数 f(x)的定义域是1x1x0，知1x1，定义域不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数 学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)因为 4x20 且|x3|x0，所以2x2 且|x3|x，所以定义域为2，2 所以 f(x)4x2|x3|x4x2x3x 4x23，f(x)4x23f(x)故 f(x)4x2|x3|x为偶函数 点评：研究奇偶性坚持定义域优先的原则，后根据函数的定义域化简函数解析式，然后判定奇偶性学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练 9判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x32x；(2)f(x)2x1，x0，12x，x0；(3)f(x)12x112.解析：(1)定义域为 R，关于原点对称 f(x)(x)32(x)x32x(x32x)f(x)函数 f(x)x32x 是奇函数 学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)f(1)2111，f(1)12112，f(1)f(1)，且 f(1)f(1)f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，f(x)12x1122x12（2x1），f(x)2x12（2x1）12x2（12x）f(x)，f(x)为奇函数
