1、2.2 椭 圆2.2.1 椭圆及其标准方程问题引航1.椭圆的定义是什么?如何求椭圆的标准方程?2.椭圆的标准方程是什么?它具有什么特征?1.椭圆的定义(1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于_(大于|F1F2|)的点的轨迹.(2)焦点:两个定点F1,F2.(3)焦距:两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示:|MF1|+|MF2|=_(常数)且2a_|F1F2|.常数2a焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_图 形焦点坐标_a,b,c的关系_2.椭圆的标准方程(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a2=b2+c21.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)椭圆的两种标准方
2、程中,虽然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2.()(2)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.()(3)椭圆的特殊形式是圆.()【解析】(1)正确.无论在哪种标准方程中,一定都有a2=b2+c2.(2)错误.只有常数大于|F1F2|时,点的集合才是椭圆.(3)错误.椭圆与圆的概念不同,没有特殊情况.答案:(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)a=5,c=3,焦点在x轴上的椭圆标准方程为.(2)方程4x2+9y2=1的焦点坐标为.(3)椭圆的方程为则a=,b=,c=.【解析】(1)由a2=b2+c2，得b2=52-32=42=16,所以椭圆的方程
3、为答案：(2)由4x2+9y2=1，得所以所以焦点坐标为答案：(3)由所以a2=9,b2=4,c2=5.所以a=3,b=2,c=答案：3 2【要点探究】知识点 1椭圆的定义1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.(2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.2.椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|),则动点M的轨迹是椭圆.(2)若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a.【知识拓展】椭圆的焦点三角形设M为椭圆上
4、任意一点(不在x轴上).F1,F2为焦点，则MF1F2为椭圆的焦点三角形.【微思考】在椭圆的定义中,动点M到两定点F1,F2的距离之和等于常数(2a)且2a|F1F2|,若2a=|F1F2|,则M的轨迹是什么?若2a|F1F2|,则M的轨迹是什么?提示:当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当2ab,ac,且a2=b2+c2.(如图所示)【微思考】(1)在椭圆的标准方程中abc一定成立吗?提示:不一定,只要ab,ac即可,b,c大小关系不定.(2)根据椭圆方程,如何确定焦点位置?提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就在相应的轴上.【即时练】椭圆25x2+16y2=
5、400的焦点坐标为,焦距为_.【解析】把方程化为标准式:可知焦点在y轴上,则a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9,则c=3,所以焦点为(0,3),焦距为2c=6.答案:(0,3)6【题型示范】类型一求椭圆的标准方程【典例1】(1)(2014邵阳高二检测)过点(-3，2)且与有相同焦点的椭圆的方程是()(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5，0).焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1,0).经过点和点【解题探究】1.题(1)焦点在哪个轴上？2.题焦点在x轴上的椭圆的标准方程是怎样的？题焦点在y轴上的椭圆的标准方程是怎
6、样的？题焦点位置不确定，椭圆的标准方程应如何求？【探究提示】1.椭圆的焦点在x轴上,因为已知方程中x2项的分母较大.2.(ab0);(ab0)；应分焦点在x轴上，y轴上两种情况讨论求解.【自主解答】(1)选A.由方程可知，其焦点的坐标为即设所求椭圆方程为(ab0).因为过点(-3，2)，代入方程为解得a2=15(a2=3舍去).故方程为(2)由于椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为(ab0).因为所以a=5.又c=4，所以b2=a2-c2=25-16=9.故所求椭圆的标准方程为由于椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为(ab0).由于椭圆经过点(0,2)和(1，0),所以故所求椭圆的标准
7、方程为方法一：当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为(ab0).依题意有解得故所求椭圆的标准方程为当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为(ab0).依题意有解得因为ab0，所以无解.综上，所求椭圆的标准方程为方法二：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn)，依题意有解得所以所求的椭圆方程为：【方法技巧】1.求椭圆方程的方法方法内容适合题型或条件定义法分析条件判断出点的轨迹是椭圆,然后根据定义确定方程动点满足|MA|+|MB|=2a,且2a|AB|待定系数法由题设条件能确定方程类型,设出标准方程,再代入已知数据,求出相关参数已知椭圆上的点的坐标已知焦点坐标或焦点间距离2.椭圆方程的设
8、法技巧若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于6,求椭圆的方程.(2)椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的方程.【解析】(1)由椭圆的焦点坐标为(-2,0)，(2,0),所以可设椭圆的方程为:(ab0).因为2a=6,2c=4，所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=5,所以所求点的轨迹方程为：(2)因为焦点为F1(0，-5)，F2(
9、0，5),可设椭圆方程为2a=所以a=c=5,b2=40-25=15，所以椭圆方程为【补偿训练】已知椭圆(ab0)上一点P(3,4)，且两焦点分别为F1,F2,若PF1PF2,试求椭圆方程.【解题指南】由PF1PF2，可得出求出c的值.再根据点P在椭圆上，且a2=b2+c2，建立a,b的方程组，求出a,b的值.【解析】因为椭圆经过点P(3,4),所以又a2=b2+c2,设F1(-c,0),F2(c,0),则因为PF1PF2,所以所以即9-c2=-16.所以c2=25.所以c=5.由可得所以a2=45，b2=20.故所求椭圆方程为类型二与椭圆有关的轨迹问题【典例2】(1)已知点M在椭圆上，MP垂
10、直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P，并且M为线段PP的中点，则P点的轨迹方程为_.(2)(2013新课标全国卷改编)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.【解题探究】1.题(1)动点P与哪个动点有关?本题可采用什么方法求动点P的轨迹方程?2.两圆外切时能得到什么条件?内切时能得到什么条件?【探究提示】1.动点P与点M有关.因为点M在已知椭圆上运动,所以本题可采用代入法求动点P的轨迹方程.2.两圆外切,两圆的圆心距等于半径之和;两圆内切,两圆的圆心距等于半径差的绝对值.【自主解答】(1)设点P的坐标为(x,
11、y)，M点的坐标为(x0,y0).因为点M在椭圆上，所以因为M是线段PP的中点，所以把代入得即x2+y2=36.所以点P的轨迹方程为x2+y2=36.答案：x2+y2=36(2)由已知得圆M的圆心为M(-1,0)，半径r1=1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x-2).【方法技巧】求解与椭圆相关的轨迹问题的方法【变式训练】已知两定点F1(-1,0),
12、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是()【解析】选C.因为|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=22=4|F1F2|.所以P的轨迹应是以F1,F2为焦点的椭圆.这里c=1,a=2.所以轨迹方程为【补偿训练】求过点P(3,0)且与圆x2+6x+y2-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程.【解析】圆方程配方整理得(x+3)2+y2=102,圆心为C1(-3,0),半径为R=10.设所求动圆圆心为C(x,y),半径为r,依题意有消去r得R-|PC|=|CC1|PC|+|CC1|=R,即|PC|+|CC1|=10.又P(3,0),C1(-3,0),且|PC1|=60,B0,事实上,当A=B时,方程表示的曲线为圆而非椭圆.【类题试解】(2014大理高二检测)若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是_.【解析】由方程表示椭圆，可得解得2k5且即当2k或k5时，方程表示椭圆.答案：
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