1、考点23 正弦定理和余弦定理的应用1在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，若，则ABC是（ ）A 直角三角形 B 等腰三角形C 等腰直角三角形 D 直角三角形或等腰三角形【答案】D 2在中，为的中点，的面积为，则等于（ ）A B C D 【答案】B【解析】由题意可知在BCD中，B=，AD=1，BCD的面积S=BCBDsinB=BC=，解得BC=3，在ABC中由余弦定理可得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=22+32223=7，AC=，故选：B3设的内角所对的边分别为，若，则的形状为A 锐角三角形 B 直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形【答案】B 4已知锐角的内角为
2、，点为上的一点，则的取值范围为（ ）A B C D 【答案】A【解析】中，由余弦定理可得， ， 5如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，后，就可以计算出，两点的距离为（ ）A B C D 【答案】A【解析】在ABC中，AC=50m，ACB=45，CAB=105，即ABC=30，则由正弦定理，得AB=故答案为：A.6在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b4，则ABC的面积的最大值为A 4 B 2 C 3 D 【答案】A 7在中，点，分别是边，上的点，且，记，四边形的面积分别为，则的最大值为（ ）A B C D 【答案】C 8我国古代著名的
3、数学家刘徽著有海岛算经.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为_步. （参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）【答案】1255
4、步【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步，由相似三角形的性质有，解得：，则海岛高度为1255步.9如图，在中，,，点是外一点，则平面四边形面积的最大值是_.【答案】 10中，为边的中点， ，则的取值范围是_【答案】【解析】当C无限接近A时，BC无限趋近于AB，所以AB近似等于2AM，此时2AB+AC长度趋近于；当B无限接近A时，BC无限趋近于AC，则AC近似等于2AM，此时2AB+AC长度趋近于.11如图所示，在圆内接四边形中，则四边形的面积为_【答案】 12如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为；在位置时，观察点的俯角为，
5、观察点的俯角为，且，则，之间的距离为_【答案】 13在一幢高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为，塔基的俯角为，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为_【答案】40【解析】如图所示，过房屋顶C作塔AB的垂线CE，垂足为E，则CD=10，ACE=60，BCE=30，BE=CD=10，BC=2CD=20，EC=BD=ACE=60，AEC=90，AC=2CE=20，AE=30AB=AE+BE=30+10=40故答案为：4014如图，在中，点 在线段上，且，则的面积的最大值为_【答案】. 15已知的三个内角，的对边分别为，若，且，则的取值范围为_【答案】【解析】由正弦定理，得 即由余弦定理 得 又 由
6、题可知 则 即的范围.16的内角的对边分别为，且满足，若点是外一点，则平面四边形面积的最大值是_.【答案】 17在圆内接四边形中, ,则的面积的最大值为_【答案】【解析】 18如图，在中，以为斜边构造等腰直角三角形，则得到的平面四边形面积的最大值为_.【答案】 19在中，角所对应的边分别为，若，则当角取得最大值时，三角形的内切圆的半径为_【答案】【解析】分析：根据得到，故可用表示，利用基本不等式得到的最大值和取最大值时的取值，最后利用等积法求内切圆的半径详解：因为，所以且即，当且仅当时等号成立，故，所以即，此时，解得20为丰富农村业余文化生活，决定在A,B,N三个村子的中间地带建造文化中心通过
7、测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB8km，BCkm经协商，文化服务中心拟建在与A,B等距离的O处，并建造三条道路AO,BO,NO与各村通达若道路建设成本AO,BO段为每公里万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为万元（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离.【答案】（1）；（2）即，令 当所以当有最小值，这时，答：该文化中心离N村的距离为21在中，（1）求证：平分；（2）当时，若，求和的长【答案】(1)见解析;(2),.所以， 22在中,分别是角
8、的对边，且.（）求的值；（）若，,求的面积.【答案】（）；（）.【解析】（）由得：，又 23已知的内切圆面积为，角所对的边分别为，若.（1）求角；（2）当的值最小时，求的面积.【答案】(1);(2).【解析】（1）由正弦定理得，.（2） 24的内角，所对的边分别为，已知的面积为.（1）求；（2）若为中点，且，求的最大值.【答案】(1).(2).解法二：（1）同解法一.因为，所以，即.因为为中点，所以，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.25已知向量，函数（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值【答案】（1），（2）又因为成等差数列，所以而，
