1、4.7 解三角形实际应用举例基础知识 自主学习课时作业题型分类 深度剖析内容索引 基础知识 自主学习2.方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等.与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角(如图).1.仰角和俯角知识梳理 上方下方指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).3.方位角正北1.三角形的面积公式：Sppapbpc(pabc2)，知识拓展 Sabc4R rp(R 为三角形外接圆半径，r 为三角形内切圆半径，pabc2).2.坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比.判断下列结论是否
2、正确(请在括号中打“”或“”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0，).()思考辨析 22 1.(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为 A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 mD.25 22m考点自测 答案 解析 由正弦定理得ABsi
3、nACB ACsin B，又B30，ABACsinACBsin B50 221250 2(m).2.若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的 A.北偏东15B.北偏西15 C.北偏东10D.北偏西10 答案 解析 如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015，点A在点B的北偏西15.3.(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成60视角，从B望C和A成75视角，则BC等于 A.10 3 n mileB.10 63n mileC.5 2 n mileD.5 6 n mile答案 解析 如图，在ABC
4、中，AB10，A60，B75，BCsin 6010sin 45，BC5 6.4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30，则A点离地面的高度AB_.由已知得DAC30，ADC 为等腰三角形，AD 3a，答案 解析 32 a又在 RtADB 中，AB12AD 32 a.5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h.答案 解析 6020 3如
5、图，AOB60，由余弦定理知OC2202202800cos 1201 200，故 OC20 3，COY303060.题型分类 深度剖析 题型一 求距离、高度问题例1(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC等于 A.240(31)m B.180(21)mC.120(31)m D.30(31)m答案 解析(2)(2016三明模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高是_ m.答案 解析 4003如图，设塔AB高为h，在RtCDB中，CD200 m，BCD906030，BC 200co
6、s 30400 33(m).在ABC中，ABCBCD30，ACB603030，BAC120.在ABC 中，由正弦定理得BCsin 120 ABsin 30，ABBCsin 30sin 120 4003(m).思维升华 求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念.(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.跟踪训练1(1)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东
7、60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为_ km.答案 解析 30 2如图，由题意，BAC30，ACB105，B45，AC60 km，由正弦定理 BCsin 30 ACsin 45，BC30 2 km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.答案 解析 3030 3题型二 求角度问题例2 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现
8、乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_.2114答案 解析 思维升华 解决测量角度问题的注意事项：(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.跟踪训练2 如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小.若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值是_(仰角为直线A
9、P与平面ABC所成角).5 39答案 解析 题型三 三角形与三角函数的综合问题例 3(2016长春质检)已知函数 f(x)2sin xcos x2 3cos2x 3.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；解答 f(x)2sin xcos x2 3cos2x 3sin 2x 3cos 2x2sin(2x3)，因此 f(x)的最小正周期为 T22.由 2k22x32k32(kZ)，得 k 12xk712，kZ，即 f(x)的单调递减区间为k 12，k712(kZ).(2)已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中 a7，若锐角 A 满足 f(A26)3，且 sin
10、Bsin C13 314，求 bc 的值.解答 思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题.跟踪训练 3 设 f(x)sin xcos xcos2x4.(1)求f(x)的单调区间；解答 由题意知 f(x)sin 2x21cos2x22sin 2x21sin 2x2sin 2x12.由22k2x22k，kZ,可得4kx4k，kZ；由22k2x32 2k，kZ,可得4kx34 k，kZ.所以 f(x)的单调递增区间是4k，4k(kZ)；单调递减区间是4k，34 k(kZ).(2)在锐角ABC中，角A
11、，B，C的对边分别为a，b，c.若0，a1，求ABC面积的最大值.fA2解答 由 fA2 sin A120，得 sin A12，由题意知 A 为锐角，所以 cos A 32.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得 1 3bcb2c22bc，即 bc2 3，当且仅当 bc 时等号成立.因此12bcsin A2 34.所以ABC 面积的最大值为2 34.典例(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，
12、经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？函数思想在解三角形中的应用 思想与方法系列10(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.规范解答 思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决.课时作业1.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东
13、70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是 A.10 2 海里B.10 3 海里C.20 3 海里D.20 2 海里 答案 解析 如图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得 BCsin 30ABsin 45，解得 BC10 2.123456789101112132.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为 A.6 km B.2 kmC.3 km D.2 km 答案 解析 如图，在ABC中，由已知可得ACB45，ACsin 602sin 45，AC2 2 32 6.12345678910
14、1112133.一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时 A.5 海里B.5 3 海里C.10 海里D.10 3 海里答案 解析 如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，得AB5，于是这艘船的速度是 50.510(海里/时).12345678910111213123456789101112134.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物C
15、D的张角为 A.30B.45C.60D.75 答案 解析 5.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于 A.5 6B.15 3C.5 2D.15 6 答案 解析 在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得 BCsin 3030sin 135，所以 BC15 2.在 RtABC 中，ABBCtanACB15 2 315 6.故选 D.12345678910111213123456789101112136.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱
16、的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是 A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m 答案 解析 7.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.10 3答案 解析 如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 30 33 3010 3(m)，MN90030023010 3 32 30010 3(m).12345678910111213在MON中，由余弦定理
17、得，8.如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距n mile.此船的航速是_ n mile/h.8 2答案 解析 32设航速为v n mile/h，在ABS 中，AB12v，BS8 2，BSA45，由正弦定理得 8 2sin 3012vsin 45，v32.123456789101112139.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人
18、步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米.解得 OC50 7.答案 解析 50 7如图，连接OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60.由余弦定理得OC2100215022100150cos 6017 500，12345678910111213*10.在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足abcx，则实数x的取值范围是_.(1，2答案 解析 xabc sin Asin Bsin Csin Acos A 2sinA4.又 A0，2，sin 4sinA4 sin 2，即 x(1，2.1234567891011121311.要测量电视塔AB的高度，在C点测
19、得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度.解答 如图，设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45，得BCx.在 RtADB 中，ADB30，则 BD 3x.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(3x)2x24022x40cos 120，解得 x40，所以电视塔高为40 m.1234567891011121312.(2015天津)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为 3 15，bc2，cos A14.(1)求a和sin C的值；在ABC
20、 中，由 cos A14，可得 sin A 154.由 SABC12bcsin A3 15，得 bc24，又由bc2，解得b6，c4.由a2b2c22bccos A，可得a8.由 asin Acsin C，得 sin C 158.解答 12345678910111213(2)求 cos2A6 的值.解答 cos2A6 cos 2Acos 6sin 2Asin6 32(2cos2A1)122sin Acos A157 316.1234567891011121312345678910111213*13.在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10 海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解答 33
