1、第七章 立体几何初步 第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)空间几何体的结构特征.多面体的结构特征:平行且相等 全等 公共点 平行于底面 相似 多边 旋转体的结构特征:几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形_所在的直线圆锥直角三角形_所在的直线圆台直角梯形_所在的直线球半圆_所在的直线任一边 任一直角边 垂直于底边的腰 直径(2)空间几何体的三视图.三视图的形成与名称:()形成:空间几何体的三视图是用平行投影得到的,在这种投影之下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的_和_是完 全相同的;()名称:三视图包括_、_、_.形状 大小 正视图 侧
2、视图 俯视图 三视图的画法:()在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成_.()三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_方、_方、_方观察几何体画出的轮廓线.虚线 正前 正左 正上(3)空间几何体的直观图.空间几何体的直观图常用_画法来画,基本步骤是:画几何体的底面:在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把 它们画成对应的x轴、y轴,两轴相交于点O,且使xOy=_,已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长度 _,平行于y轴的线段,长度_.斜二测 45(或135)不变 减半 画几何体的高:在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图中对应的z轴,也
3、垂直于xOy平面,已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平 行于z轴且长度_.不变 2.必备结论 教材提炼 记一记(1)正棱柱、正棱锥的结构特征:正棱柱:侧棱_于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是_的 直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是_,侧棱_于底 面,侧面是矩形.正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心 的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱_的正三棱锥叫正四面体.垂直 正多边形 正多边形 垂直 均相等(2)简单组合体的结构特征:由简单几何体_或_或_一部分而成.(3)三视图的长度特征:一个几何体的三视图_平齐、_对正、_相等.3.必用技法 核心总结 看一看(1)三视图与直观图
4、互相转换的方法.(2)数学思想:转化与化归思想.拼接 截去 挖去 高 长 宽【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱.()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.()(4)用斜二测画法画水平放置的A时,若A的两边分别平行于x轴和y轴,且A=90,则在直观图中,A=45.()(5)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.()【解析】(1)错误.因为侧棱不一定与底面垂直.(2)错误.尽管几何体满足了一个面是多边形,其余各面都是三角形,但不能保证三角形具有公共顶点.(3)错误.因为两个平
5、行截面不能保证与底面平行.(4)错误.A应为45或135.(5)错误.正方体的三视图由于正视的方向不同,其三视图的形状可能不同,圆锥的侧视图与俯视图显然不相同.答案:(1)(2)(3)(4)(5)2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修2P10T1改编)如图,长方体ABCD-ABCD 中被截去一部分,其中EHAD.剩下的几何体 是()A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.简单组合体【解析】选C.由空间几何体的结构特征知,该剩下部分为五棱柱ABFEA-DCGHD.(2)(必修2P21T2(4)改编)若某几何体的三视图如图所示,则该几何体为 .【解析】由三视图知该几何体为上面为一圆柱,下面为一四
6、棱柱组合而成的简单组合体.答案:四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体 3.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2014江西高考)一几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是()【解析】选B.因为俯视图是几何体在下底面上的投影,所以选B.(2)(2013四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是()A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台【解题提示】本题考查的是几何体的三视图,在判断时要结合三种视图进行判断.【解析】选D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致且为梯形,并且俯视图是两个圆,可知只有选项D适合,故选D.(3)(2015珠海模拟)利用斜二测画法得到的:三角形的直观图一
7、定是三角形;正方形的直观图一定是菱形;等腰梯形的直观图可以是平行四边形;菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的个数是 .【解析】由斜二测画法的规则可知正确;错误,是一般的平行四边形;错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,也错误.答案:1 考点1 空间几何体的结构特征【典例1】(1)下列说法正确的是()A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)以下命题:以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;以直
8、角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】(1)根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征进行判断.(2)根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.【规范解答】(1)选B.A错,如图1;B正确,如图2,其中底面ABCD是矩形,可证明PAB,PCB都是直角,这样四个侧面都是直角三角形;C错,如图3;D错,由棱台的定义知,其侧棱必相交于同一点.(2)选B.命题错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;命题错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰;命题对;命题错,必须用平行于
9、圆锥底面的平面截圆锥才可以.【规律方法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.(2)利用反例对结构特征进行辨析,即要说明某个命题是错误的,只要举出一个反例即可.【变式训练】给出下列命题:棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台;若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;存在每个面都是直角三角形的四面体;棱台的侧棱延长后交于一点.其
10、中正确命题的序号是()A.B.C.D.【解析】选C.错误,因为棱柱的侧面不一定是全等的 平行四边形;错误,必须用平行于底面的平面去截棱 锥,才能得到棱台;正确,根据面面垂直的判定定理判 断;正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;正确,如图所示,正方体AC1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形;正确,由棱台的概念可知.因此,正确命题的序号是.【加固训练】(2015北京模拟)下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是
11、六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【解析】选D.A错误,如图所示,由两个结构相同的三棱 锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不 是三棱锥;B错误,如图,若ABC不是直角三角形或是直角 三角形,但旋转轴不是直角边,所得的几何体都 不是圆锥;C错误,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.考点2 空间几何体的三视图 知考情 空间几何体三视图的确认与应用是高考考查空间几何体的一个重要考向,常与空间几何体的结构特征、直观图、表面积与体积等知识综合,以选择题、填空题的形式出现.明角度 命题角度1:根据
12、几何体的结构特征确认其三视图【典例2】(2015厦门模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为()【解题提示】结合原正方体先确定剩余几何体的形状,再确认其侧视图.【规范解答】选C.设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,且F是棱DD1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的侧视图应选C.【易错警示】解答本题有两点易出错:(1)将剩余的几何体搞错,错误认为截面过D1点而误选B或D.(2)将剩余几何体确认正确,但将EC1的投影搞错而误选A.命题角度2:根据三视图还原直观图(
13、几何体的结构特征)【典例3】(2014新课标全国卷)如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()(本题源于教材必修2P15T4)A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱【解题提示】结合三视图进行判断,特别注意垂直关系的转化.【规范解答】选B.将三视图还原为几何体即可.如图所示,几何体为三棱柱.悟技法 1.根据几何体确认三视图的技巧 由实物图画三视图或判断选择三视图,按照“正侧一样高,正俯一样长,俯侧一样宽”的特点确认.2.根据三视图还原几何体的技巧策略(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.(2)明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还原
14、为直观图.(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.提醒:对于简单组合体的三视图,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置,区分好实线和虚线的不同.通一类 1.(2015天津模拟)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示,则其侧视图为()【解析】选C.根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为:所以侧视图为:.2.(2013湖南高考)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1 的正方形,侧视图是一个面积为 的矩形,则该正方体的正视图的面 积等于()【解析】选D.由题知此正
15、方体的正视图与侧视图是一样的,正视图的 面积与侧视图的面积相等,为 .2321A.B.1 C.D.22223.(2015威海模拟)一空间几何体的三视图如图所示,则此空间几何体的直观图为()【解析】选A.由正视图与俯视图知,上部的三棱锥的顶点应在棱的中点处.选A.4.(2015郑州模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是()A.B.C.D.【解析】选C.由已知得最短路线应有四条,其正视图符合要求的只有.故选C.考点 空间几何体的直观图【典例】(1)(2015宜春模拟)已知
16、正三角形ABC的边长为a,那么ABC的平面直观图ABC的面积为()22223366A.a B.a C.a D.a48816(2)如图所示,四边形ABCD是一水平放置的 平面图形的斜二测画法的直观图,在斜二测直观图 中,四边形ABCD是一直角梯形,AB CD,ADCD,且BC与y轴平行,若AB=6,DC=4,AD=2,则这个平面图形的实际面积为 .【解题提示】(1)先建立坐标系,然后画出ABC的直观图ABC,求出ABC相关的边,确定其面积.(2)按照斜二测画法,将直角梯形还原为平面图形再求解.【规范解答】(1)选D.如图所示的实际图形和直观图,由可知,AB=AB=a,OC=在图中作CDAB于D,
17、则CD=所以SABC=ABCD 13OCa24，26O Ca.28 122166aaa.2816(2)根据斜二测画法规则可知:该平面图形是直角梯形,且AB=6,CD=4.由于CB=AD=2 .所以CB=4 .故平面图形的实际面积为 (6+4)4 =20 .答案:20 22212222【互动探究】若本例(1)改为“A1B1C1是边长为a的正三角形,且A1B1C1是ABC的直观图”,则ABC的面积为多少?【解析】如图,可知 在A1D1C1中,由正弦定理 得x=a,所以SABC=axsin 45sin 120，62216a6aa.22【规律方法】直观图画法的关键与结论(1)关键:在斜二测画法中,要确
18、定关键点及关键线段.“平行于x轴的 线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.”(2)结论:按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形 的面积的关系:S直观图=S原图形.24【变式训练】如图,正方形OABC的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为 .【解析】将直观图还原为平面图形,如图.可知还原后的图形中OB=2 ,AB=于是周长为23+21=8(cm).答案:8cm 22212 23,【加固训练】1.如图所示是水平放置三角形的 直观图,D是ABC的BC边中点,AB,BC分别与y 轴、x轴平行,则三条线段AB,AD,AC中()A.最长
19、的是AB,最短的是AC B.最长的是AC,最短的是AB C.最长的是AB,最短的是AD D.最长的是AC,最短的是AD【解析】选B.由条件知,原平面图形中ABBC,从而ABADAC.2.水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,若 A1C1=2,ABC的面积为2 ,则A1B1的长为 .【解析】由直观图可知ACBC,BC=2B1C1,AC=2,又因为 ACBC=2 ,所以BC=2 ,则B1C1=BC=,所以 =22+()2-22 cos45=2,解得A1B1=.答案:21222122211A B22223.如图所示,梯形A1B1C1D1是一个平面图形ABCD 的直观图.若A1D1O1y,A1B1C
20、1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O1D1=1.请画出原来的平面几何图形的形状,并求原图形的面积.23【解析】如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O1D1=1;OC=O1C1=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上 截取AB=A1B1=2.连接BC,即得到了原图形.由作法可知,原四边形ABCD 是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2,所 以面积为S=2=5.232自我纠错16 三视图的确认【典例】(2014湖北高考)在如图所示的空间直角 坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,
21、2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为,的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.和 B.和 C.和 D.和【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程你知道错在哪里吗?提示:上述解题过程错在将正视图中虚线误认为实线而失误.【规避策略】1.准确确定几何体的边界线 在确定边界线时,要先分析几何体由哪些面组成,从而确定边界线,其次要确定哪些边界线投影后与轮廓线重合,哪些边界线投影后与轮廓线不重合,不重合的是我们要在三视图中画出的.2.熟练掌握三视图的画法 在画三视图时,首先确定几何体的轮廓线,然后再确定面与面之间的边界线,再根据是否可视确定实虚.【自我矫正】选D.根据正视图、俯视图的投影规则,找出它们各个顶点的坐标即可.由题可知该几何体的正视图是一个直角三角形,三个顶点的坐标分别是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2),且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线),故正视图是;俯视图在底面的射影是一个斜三角形,三个顶点的坐标分别是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯视图是.
