1、第十章计数原理、概率、随机变量及其分布(理)概率(文)第三节 二项式定理(理)基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.备考知考情二项式定理是高考的重点内容，具有隔年命题的规律，主要考查二项展开式的通项、二项式系数、展开式的系数等知识，难度控制在中低档，以选择题、填空题的形式出现，分值在 5 分左右在考查基本概念基本运算的基础上注重考查方程思想、等价转化思想，如 2014 湖北 2、课标全国13.理教材 夯基础 厚积薄发J 基础回扣自主学习知识梳理知识点一二项式定理1.二项式定理的内容这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)
2、n 的二项展开式，其中的系数 Ckn(k0,1,2，n)叫做式中的叫做二项展开式的，用 Tk1表示，即展开式的第项：Tk1.(ab)nC0nanC1nan1b1CknankbkCnnbn(nN*)二项式系数Cknankbk通项k1Cknankbk2二项展开式形式上的特点(1)项数为.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为.(3)字母 a 按排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1直到零；字母 b 按排列，从第一项起，次数由零逐项增 1直到 n.(4)二项式系数从，C1n，一直到 Cn1n，.n1n降幂升幂C0nCnn知识点二二项式系数的性质1.对称性：在二项展
3、开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.2增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当 kn12 时，二项式系数逐渐减小当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大CmnCnmn3各二项式系数的和：(ab)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即.4奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即.C0nC1nCnn2nC0nC2nC1nC3n2n1对点自测知识点一二项式定理1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Cknankbk 是二项展开式的第 k 项()(2)二 项 展开 式中，系 数最 大的 项 为中 间一项 或
4、 中间 两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关()(4)在(1x)9 的展开式中系数最大的项是 第 五、第六两项()答案(1)(2)(3)(4)2(1x)7 的展开式中 x2 的系数是()A42 B35C28 D21解析 依题意可知，二项式(1x)7 的展开式中 x2 的系数等于C271521，选 D.答案 D3若x ax26 展开式的常数项为 60，则常数 a 的值为_解析 二项式x ax26 的通项为 Tr1Cr6(1)rar2x63r，令 63r0，则 r2，故其常数项为 C26a60，所以 a4.答案 4知识点二二项式系数的性质4.已知(ax1)n 的展开
5、式中，二项式系数和为 32，各项系数和为 243，则 a 等于()A2 B2C3 D3解析 由二项式系数和为 2n32，得 n5，又令 x1 得各项系数和为(a1)5243，所以 a13，故 a2.答案 B5若(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a1a2a3a4_.解析 若(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，令 x0，可得 a01.令 x1，可得 a0a1a2a3a41，所以 a1a2a3a40.答案 06已知(1ax)5110 xa2x2a3x3anxn，则 a2_.解析 因为 Tr1Cr5(ax)r，当 r1 时，T2C15a1x10 x，解得 a2；当 r2
6、时，C25a2a2，所以 a240.答案 40研考点 知规律 通法悟道R 热点命题深度剖析问题探究问题 1 二项式系数与展开式项的系数有什么异同？在 Tr1Crnanrbr 中，Crn就是该项的二项式系数，它与 a，b的值无关；Tr1 项的系数指化简后除字母以外的数，如 a2x，b3y，Tr1Crn2nr3rxnryr，其中 Crn2nr3r 就是 Tr1 项的系数问题 2 如何利用二项式定理求展开式的指定项？求展开式的一些特殊项，通常都是由二项式通项公式列出方程求出 r，再求所需的某项；有时需先求 n，计算时要注意 n，r的取值范围及它们的大小关系(1)求第 m 项：令 r1m，直接代入通项
7、(2)求常数项：即这项中不含“变元”，令通项中的“变元”的幂指数为 0 建立方程(3)求有理项：即求通项公式中未知数的指数恰好都是整数的项解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解问题 3 利用赋值法求系数和有哪些技巧？涉及展开式的系数和的问题，一般要用“赋值法”，对展开式(abx)na0a1xa2x2anxn 两端的 x 赋以同值，利用恒等关系确定系数的和如何赋值，要观察所求和式的特征，发现差异，确保正确常用技巧有：(1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令 x1 即可；对形如(ax
8、by)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可(2)若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，偶次项系数之和为 a0a2a4f1f12，奇次项系数之和为 a1a3a5f1f12，令 x0，可得 a0f(0)高频考点考点一求二项展开式中特定项或系数【例 1】(1)(2014湖南卷)12x2y 5 的展开式中 x2y3 的系数是()A20 B5C5 D20(2)设 a0sinxdx，则二项式a x 1x6 的展开式中的常数项是_(3)x 124 x8 的展开式中的有理项共有_项听 课 记 录(1)由已知，得 Tr1Cr512x 5
9、r(2y)rCr5125r(2)rx5ryr(0r5，rZ)，令 r3，得 T4C35122(2)3x2y320 x2y3.故选 A.(2)a0sinxdx(cosx)|02，所以二项展开式的通项是 Tr1Cr6(2 x)6r 1xrCr626r(1)rx3r，令 3r0，得 r3，故二项展开式中的常数项是C3623160.(3)x 124 x8 的展开式的通项为 Tr1Cr8(x)8r124 xr12rCr8(r0,1,2，8)，为使 Tr1 为有理项，r 必须是 4的倍数，所以 r0,4,8，故共有 3 个有理项，分别是 T1120C08x4x4，T5124C48x358 x，T9128C
10、88x21256x2.答案(1)A(2)160(3)3【规律方法】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 r1，代回通项公式即可变式思考 1(1)若x a3 x8 的展开式中 x4 的系数为 7，则实数 a_.(2)(2014新课标全国卷)(xy)(xy)8 的展开式中 x2y7 的系数为_(用数字填写答案)解析(1)二项式x a3 x8展开式的通项为 Tr1Cr8ar，令 843r4，可得 r3，故 C38a37，易得 a12.(2)(xy)8 的通项公式为 Tr1Cr8x8ryr(r0
11、,1，8，rZ)当 r7 时，T8C78xy78xy7，当 r6 时，T7C68x2y628x2y6，所以(xy)(xy)8 的展开式中含 x2y7 的项为 x8xy7y28x2y620 x2y7，故系数为20.答案(1)12(2)20考点二二项式系数和与各项系数和【例 2】(1)已知(x2x2)5a0a1xa2x2a10 x10，则a1a2a9a10 的值为()A64 B32C0 D64(2)设 x6a0a1(1x)a2(1x)2a6(1x)6，则 a1a2a6_.听 课 记 录(1)(x2x2)5(x2)5(x1)5，令 x0 得 a0(2)532，令 x1，则 a0a1a2a9a1032
12、，所以 a1a2a9a100.(2)在所给的等式 x6a0a1(1x)a2(1x)2a6(1x)6中，令 x1，可得 a01，再令 x0 可得 1a1a2a60，所以 a1a2a61.答案(1)C(2)1【规律方法】本例中通过给二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便地求出答案，但是很容易忽略求 a0，或者不知对 x 赋哪个值而无法求得结果变式思考 2(1)设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则 a0a1a2a11 的值为()A2 B1C1D2(2)(2015普陀模拟)若(2x1)5a0a1xa2x2a5x5，则(a0a2a4)2(a1a3a5)2_
13、.解析(1)令 x21，所以 x1，将 x1 代入(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11 得(1)21(21)9a0a1a2a11，所以 a0a1a2a112(1)2.(2)因为(2x1)5a0a1xa2x2a5x5，令 x1 得到 35a0a1a2a3a4a5，令 x1 得到1a0a1a2a3a4a5，又(a0a2a4)2(a1a3a5)2(a0a1a2a3a4a5)(a0a1a2a3a4a5)35243.答案(1)A(2)243考点三二项式定理的应用【例 3】(2014浙江卷)在(1x)6(1y)4 的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m，n)，则 f(
14、3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)()A45 B60C120 D210听 课 记 录(1x)6 展开式的通项公式为 Tr1Cr6xr，(1y)4 展开式的通项公式为 Th1Ch4yh，(1x)6(1y)4 展开式的通项可以为 Cr6Ch4xryh.f(m，n)Cm6Cn4.f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)C36C26C14C16C24C342060364120.故选 C.答案 C【规律方法】二项式定理的应用有多方面内容，比如求近似值，整除问题求解系数的值等，本题是求两个二项式积的系数问题，可采用配凑法变式思考 3(1)设 aZ，且 0a13，若 512 012a 能被
15、 13整除，则 a()A0 B1C11 D12(2)(2014山东卷)若ax2bx6 的展开式中 x3 项的系数为 20，则a2b2 的最小值为_解析(1)因为 52 能被 13 整除，所以 512 012a(521)2 012aC02 012522 012C12 012522 011(C2 0112 01252)C2 0122 012a.显然上式除了 C2 0122 012a1a 外，其余各个因式都能被 13 整除所以能被 13 整除，且 aZ,0a13，只需 a12.(2)ax2bx6 的展开式的通项为Tr1Cr6(ax2)6rbxrCr6a6rbrx123r，令 123r3，得 r3.由
16、 Cr6a6rbrC36a3b320，得 ab1，a2b22ab2，a2b2 的最小值为 2.答案(1)D(2)2拓思维 提能力 启智培优T 特色专题感悟提高易错警示系列之(十二)混淆二项式系数最大项与展开式系数最大项致误【典例】已知(3 xx2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x1)n 的展开式的二项式系数和大 992，求2x1x2n 的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项【易错分析】本题易将二项式系数和系数混淆，利用赋值来求二项式系数的和导致错误；另外，也要注意项与项的系数，系数的绝对值与系数的区别【规范解答】由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31
17、)0，2n32，解得 n5.(1)由二项式系数的性质知，2x1x10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大，即 C510252.(2)设第 r1 项的系数的绝对值最大，Tr1Cr10(2x)10r1xr(1)rCr10210rx102r，Cr10210rCr110 210r1，Cr10210rCr110 210r1，得Cr102Cr110，2Cr10Cr110，即11r2r，2r110r.解得83r113.rZ，r3.故系数的绝对值最大的是第 4 项，T4C31027x415 360 x4.【名师点评】在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差
18、异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关对应训练1设(1x)na0a1xanxn，若 a1a2an63，则展开式中系数最大的项是()A15x2 B20 x3C21x3 D35x3解析 本题二项式系数与各项分数相等，a0a1an2n，令 x0，得 a01，2n64，n6.故(1x)6 的展开式中系数最大的项为 T4C36x320 x3.答案 B2若 x(0，)，则(12x)15 的二项展开式中系数最大的项为()A第 8 项B第 9 项C第 8 项和第 9 项D第 11 项解析 Tr1Cr152rxr，由 Cr115 2r1Cr152r，Cr115 2r1Cr152r293r323，r10，所以第 11 项的系数最大答案 D
