1、2006年北京市朝阳区综合练习（一）高三数学综合练习（文科）第I卷（选择题共40分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（AB）P（A）P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）P（A）P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率球的表面积公式其中R是表示球的半径球的体积公式其中R表示球的半径一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设全集为R，则（ ）A. B. C. D. （2）已知m是平面外的一条直线，直线，那么m/n是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要
2、条件D. 既不充分也不必要条件（3）函数（）的反函数是A. B. C. D. （4）已知向量a（2，3），b（1，2），且，则等于（ ）A. B. C. 3D. 3（5）已知函数在上单调递增且在这个区间上的最大值为，则实数的一个值可以是（ ）A. B. C. D. （6）从10种不同的作物种子中选出6种，放入分别标有1号至6号的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种（7）过双曲线的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. 3D. （8）如下图，
3、正方形ABCD的顶点A（0，），B（，0），顶点C、D位于第一象限，直线将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数的图象大致是（ ）第II卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。将答案填在题中横线上。（9）不等式的解集是_。（10）某公司一个月生产产品1890件，其中特级品540件，一级品1350件，为了检验产品的包装质量，用分层抽样的方法，从产品中抽取一个容量为70的样本进行测试，其中抽取的特级品的件数是_。（11）的展开式共有_项，其中常数项为_。（12）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，
4、则该球的表面积是_cm2，球的体积是_cm3。（13）过原点的直线与圆（其中为参数）相切，若切点在第二象限，则该直线的方程是_+。（14）下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第行，第j列的数为，则第1列的公差等于_，等于_。 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本小题满分13分）已知（I）求tan；（II）求（16）（本小题满分13分）已知口袋中有大小相同的m个红球和n个白球，从袋中任意取出两个球。（I）若，求取出的两个球中至少有一个红球的概率；（II）设取出的两球都是红球
5、的概率为，取出的两球恰是1红1白的概率为，且，求证：。（17）（本小题满分13分）已知矩形ABCD中，将ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上。（I）求证：平面ADC平面BCD；（II）求点C到平面ABD的距离；（III）若E为BD中点，求二面角BACE的大小。（18）（本小题满分13分）设函数，当时，取极小值。（I）求的解析式；（II）若时，求证：。（19）（本小题满分14分）在各项均为正数的数列中，前n项和Sn满足。（I）证明是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；（II）在XOY平面上，设点列Mn（xn，yn）满足，且点列Mn在直线C上，Mn中最高点为Mk，若
6、称直线C与x轴、直线所围成的图形的面积为直线C在区间a，b上的面积，试求直线C在区间x3，xk上的面积。 （20）（本小题满分14分）已知椭圆，中心在坐标原点O，一条准线的方程是，过椭圆的左焦点F，且方向向量为的直线l交椭圆于A、B两点，AB的中点为M。（I）求直线OM的斜率（用a、b表示）； （II）直线AB与OM的夹角为，当时，求椭圆的方程； （III）当A、B两点分别位于第一、三象限时，求椭圆短轴长的取值范围。【试题答案】2006年北京市朝阳区综合练习（一）高三数学综合练习（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B（2）A（3）B（4）B（5）C
7、（6）D（7）D（8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）20（11）11，（12），（13）（14），三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）解：（I）由，得2分6分（II）10分 13分（16）解： （I）设取出的两个中有一个红球为事件A，取出的两个球中都为红球为事件B，则取出的两个中至少有一个红球的概率为 6分 （II）由已知得，又 ，10分 ，即。 13分 （17）方法1：（I）证明：依条件可知DAAB点A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD经过平面BCD的垂线平面ACD平面BCD4分（II）解：由（I）结论知平面ADC平面BCD。依条件可知
8、BCDC，BC平面ACDDC平面ACD，BCDA ABBCB，由、得DA平面ABC设求点C到平面ABD的距离为d，于是。DA平面ABC，DA是三棱锥DABC的高。由，得。解得。即点C到平面ABD的距离为。8分（III）解：由（II）中结论可知DA平面ABC，又DA平面ABD，平面ABD平面ABC过E作EFAB，垂足为F，EF平面ABC。过F作FGAC，垂足为G，连结EG，EGACEGF是所求二面角的平面角。 10分DAAB，EFAB，又点E、F分别是所在边的中点，同理在AEC中， 在EFG中容易求出EGF45。即二面角BACE的大小是45 13分方法2：（I）证明：如图，以CB所在直线为x轴，
9、DC所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系。所以C（0，0，0），B（1，0，0），D（0，0）点A在平面BCD上的射影落在DC上，点A的坐标为。是平面BCD的一个法向量。而是平面ADC的一个法向量。平面ACD平面BCD。 4分（II）解：设点C到平面ABD的距离为d容易求出平面ABD的一个法向量为即点C到平面ABD的距离为8分 （III）解：， 容易求出平面ABC的一个法向量为 又 容易求出平面AEC的一个法向量为。 ， 。12分 二面角BACE的大小是45。 13分（18）解：（I）， 2分在时，取极小值 6分 7分（II）证明：，令得时，；时， 9分1
10、，1上是减函数，且在1，1上，故 13分（19）解：（1）由已知得故得结合，得是等差数列4分又时，解得或。又，故，7分（II）即得点设，消去n，得即直线C的方程为11分又是n的减函数M1为Mn中的最高点，且M1（1，1）。又M3的坐标为（，）C与x轴、直线围成的图形为直角梯形，从而直线C在，1上的面积为 14分（20）解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在椭圆上所以两式相减，得：4分（II）因为直线AB与OM的夹角为，tan2由（I）知又椭圆中心在坐标原点O，一条准线的方程是在椭圆中，联立，解得：所以，椭圆的方程为 9分（III）设AB直线的方程为由 消元得A、B两点分别位于第一、三象限，当时，解得： 13分所以椭圆短轴长的取值范围为（0，1） 14分注：2个空的填空题，做对其中任一个给3分。如有其它解法请阅卷老师酌情给分。
