1、4.2.5正态分布学 习 任 务核 心 素 养1了解二项分布与正态曲线的关系，能借助正态曲线理解正态曲线的性质(重点)2掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问题(重点)3了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率(难点)1通过学习正态分布和标准正态分布，体会数学抽象与直观想象的素养2借助正态分布中的“3原则”解题及标准正态分布函数(x)的函数值计算正态分布XN(，2)在某一区间内取值的概率，提升数学建模、数学运算的素养小概率事件是指发生的概率小于3%的事件对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次
2、试验中该事件是几乎不可能发生的某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸(单位：cm)XN(4，0.25)质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？提示不合格(由本节所学知识解答)知识点1正态曲线及其性质(1)正态曲线的定义一般地，函数，(x)e对应的图像称为正态曲线，其中E(X)，(2)正态曲线的性质正态曲线关于x对称(即决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；决定正态曲线的“胖瘦”：越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，
3、所以曲线越“瘦”1正态曲线函数f(x)e，xR，其中0的图像是下图中的()ABCDD因为正态曲线函数f(x)关于直线x对称，又0，故选D知识点2正态分布(1)一般地，如果随机变量X落在区间a，b内的概率，总是等于，(x)对应的正态曲线与x轴在区间a，b内围成的面积，则称X服从参数为与的正态分布，记作XN(，2)，此时，(x)称为X的概率密度函数(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值P(X)68.3%P(2X2)95.4%P(3X3)99.7%1如果XN(，2)，那么P(x)与P(x)之间存在怎样的等量关系？提示P(x)P(x)2如果N(，2)，且E()3，D()1，那么P(24)为()A0
4、.5 B0.683C0.954 D0.997BN(，2)，且E()3，D()1，N(3,1)，P(24)P(3131)P()0.683知识点3标准正态分布(1)定义：0且1的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0,1)(2)概率计算方法：如果XN(0,1)，那么对于任意a，通常记(a)P(xa)，其中(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(，a)内所围的面积特别地，(a)(a)12正态分布YN(，2)化为标准正态分布的变换是什么？提示借助X实现转换3若随机变量XN(0,1)，则P(x0)_由标准正态曲线关于y轴对称可知P(x0) 类型1利用正态分布的对称性求概率【例1】设XN(10,
5、1)(1)求证：P(1X2)P(18X19)；(2)若P(X2)a，求P(10X18)解(1)证明：XN(10,1)，正态曲线，(x)关于直线x10对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直线x10对称，即P(1X2)P(18X19)(2)P(X2)P(2X10)P(10X18)P(X18)1，10，P(X2)P(X18)a，P(2X10)P(10X18)，2a2P(10X18)1，即P(10X18)a充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解.(1)熟记正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等.(2)P(Xa)1P(Xa)；P(Xa).1(1)已知随机变量服从正态分布N(
6、0，2)，若P(2)0.023，则P(2c)a，则P(4c)等于()Aa B1aC2a D12a(1)C(2)B(1)P(22)120.0230.954(2)对称轴x2，P(4c)1P(c)1a 类型2“3原则”的应用【例2】(对接教材P91例3)某厂生产的产品，质量要求服从正态分布N(100,4)，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，则该生产线是否要停产检修？思路点拨由题意可知产品质量服从正态分布，又由于质量在区间1002,1002，即98,102内的概率为68.3%，在区间96,104内的概率为95.4%，在区间94,
7、106内的概率为99.7%，所以据此可以判断结论解由题意知产品质量X服从正态分布N(100,22)，产品质量在区间10032,10032，即94,106内的概率为99.7%，而在这个区间外的概率仅为0.3%，在抽测的10件产品中有2件(分别是92,108)不在这个区间内，小概率事件竟然发生了，说明生产线有问题，故应停产检修假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(，2).确定一次试验中的取值a是否落入区间3，3内.作出判断：如果a3，3，则接受统计假设.如果a3，3，则拒绝统计假设.2某厂生产的零件外直径XN(8.0,0.022 5
8、)，单位：mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为()A上、下午生产情况均为正常B上、下午生产情况均为异常C上午生产情况正常，下午生产情况异常D上午生产情况异常，下午生产情况正常C根据3原则，在830.15,830.15即7.55,8.45之外时为异常结合已知，可知上午生产情况正常，下午生产情况异常 类型3标准正态分布及其应用1若随机变量N(0,1)，且(a)m，则(a)等于多少？提示由(a)(a)1，得(a)1(a)1m2如果YN(，2)，令X，试证明XN(0,1)提示E(X)0，D(X)1，XN(0,1)【例3】在某校举行的数
9、学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100)已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名(1)试问此次参赛学生总数约为多少人？(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的(部分)标准正态分布表(x0)P(xx0)x0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.20.8849 0.88690.8880.890770.8925 .8944 .89620.89800.89970.9015 1.3 0.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.9177 1.4 0.91
10、920.92070.9222 0.92360.92510.92650.92780.92920.93060.9316 1.90.977130.97190.9726 0.97320.97380.97440.97500.97560.97620.9767 2.0 0.97720.97780.9783 0.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817 2.10.98210.98260.9830 0.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857思路点拨(1)先求出90分以上(含90分)的学生所占的百分比，再计算参赛学生的总数A；(2)
11、利用P(x)，结合P(x)求解解(1)设参赛学生的分数为，因为N(70,100)，所以N(0,1)由条件知，P(90)1P(90)11(2)10.977 20.022 8这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，参赛总人数约为526(人)(2)假定设奖的分数线为x分，则XN(70,100)，故N(0,1)又P(x)1P(x)10.095 1即0.904 9，查表得1.31，解得x83.1故设奖的分数线约为83分1任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布即：如果XN(，2)，则ZN(0,1)2(a)P(xa)即标准正态曲线与x轴在区间(，a)上的
12、概率，解题时要熟记该要点3已知某地农村务工人员年平均收入服从8 000，500的正态分布(1)求此地农村务工人员年平均收入在8 0008 500元之间的人数所占的百分比；(2)如果要使此地农村务工人员年平均收入在(a，a)内的概率不少于0.95，则a至少有多大？解设X表示此地农村务工人员年平均收入，则XN(8 000,5002)(1)P(8 000X8 500)(1)(0)0.841 30.50.341 3即此地农村务工人员年平均收入在8 0008 500元之间的人数所占的百分比为34.13%(2)P(aXa)210.95，0.975，查表得1.96a980，即a的值至少为9801设两个正态分
13、布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图像如图所示，则有()A12，12 B12C12，12，12A根据正态分布的性质：对称轴方程x，表示正态曲线的形状由题图可得，选A2已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2C随机变量服从正态分布N(2，2)，2，对称轴是x2P(4)0.8，P(4)P(0)0.2，P(04)0.6，P(02)0.3故选C3某种零件的尺寸X(单位：cm)服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的_4.6%属于区间(2，2)，即区间(1,5)的取值概率约为95.
14、4%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数195.4%4.6%4设随机变量服从标准正态分布N(0,1)，在某项测量中，已知在(，1.96内取值的概率为0.025，则P(|1.96)_0.95法一：N(0,1)，P(|1.96)P(1.961.96)(1.96)(1.96)12(1.96)0.950法二：因为曲线的对称轴是直线x0，所以由图知P(1.96)P(1.96)(1.96)0.025，P(|1.96)10.0250.0250.950回顾本节内容，自我完成以下问题：1如何理解正态曲线的性质？提示性质(1)说明函数(x)在x时取得最大值，且正态曲线都是单峰的由性质(1)和(3)
15、可以看出一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图所示一定时，曲线的形状由确定，如图所示2在利用正态分布的3原则解决实际问题时，你对小概率事件是如何理解的？提示(1)小概率事件是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的；(2)当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.3%犯错的可能(教师用书独具)车间供电问题某车间有200台车床，由于检修、测量、调换刀具等种种原因，即使在生产期间，各台车床还是时常需要停工，若每台车床有60%的时间在开动，而每台车床开动时需要耗电1千瓦，那么应该供给这个车间多少电力才能保证此车间正常生产？显然，若
16、供给这个车间200千瓦的电力则此车间便能正常生产但这样做很不划算，因为每台车床的开工率只有60%，也就是说，平均起来这个车间中同时工作的车床只有120台，供给200千瓦的电力太多了那么供给120千瓦的电力呢？这又太少了点，因为有时同时工作的车床数会超过120台，则120千瓦的电能就不够用，因而导致一些车床无法工作，那么到底给多少电能才能既保证生产正常又节约电力呢？事实上供给这个车间141千瓦的电就够了，虽然在这时也可能碰到因电力不足导致部分车床无法运转的情况，但是这种机会非常小，小于千分之一，也就是说在8小时的工作中只有30秒钟会碰到这种情况，这显然影响不大，但是节约出来的59千瓦电能却可以用于很多别的用途这里的计算涉及到统计学中的中心极限定理和正态分布怎么样，现在你是不是觉得统计学还是蛮有意思的呢？
