1、2015年内蒙古呼伦贝尔市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知P=1，0，Q=y|y=sin，R，则PQ=（） A B 0 C 1，0 D 1，0，【考点】： 交集及其运算；正弦函数的定义域和值域【专题】： 计算题【分析】： 由题意P=1，0，Q=y|y=sin，R，利用三角函数的值域解出集合Q，然后根据交集的定义和运算法则进行计算【解析】： 解：Q=y|y=sin ，R，Q=y|1y1，P=1，0，PQ=1，0故选C【点评】： 本题考查两个集合的交集的定义和求法，以及函数的定义域、值域的求法，关键
2、是明确集合中元素代表的意义2（5分）已知复数，则的虚部为（） A 3 B 3 C 3i D 3i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接由复数代数形式的乘除运算化简，求得后得答案【解析】： 解：由=，得，的虚部为3故选：B【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础的计算题3（5分）已知倾斜角为的直线l与直线x2y+2=0平行，则tan2的值为（） A B C D 【考点】： 二倍角的正切；直线的倾斜角【专题】： 计算题【分析】： 由题意可得tan=，代入二倍角公式tan2=可求【解析】： 解：由题意可得tan=tan2=故选
3、C【点评】： 本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系，两直线平行的条件及二倍角正切公式的应用，计算虽简单，但应用的知识较多4（5分）甲：函数，f（x）是R上的单调递增函数；乙：x1x2，f（x1）f（x2），则甲是乙的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解析】： 解：根据函数单调性的定义可知，若f（x）是 R上的单调递增函数，则x1x2，f（x1）f（x2），成立，命题乙成立若：x1x2，f（x1
4、）f（x2），则不满足函数单调性定义的任意性，命题甲不成立甲是乙成立的充分不必要条件故选：A【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的定义和性质是解决本题的关键5（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（） A f（x）=cosx B f（x）= C f（x）=lgx D f（x）=【考点】： 程序框图【专题】： 函数的性质及应用；算法和程序框图【分析】： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件f（x）+f（x）=0，即函数f（x）为奇函数f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点逐一分析四个答案
5、中给出的函数的性质，不难得到正确答案【解析】： 解：A：f（x）=cosx、C：f（x）=lgx，不是奇函数，故不满足条件f（x）+f（x）=0，又B：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件f（x）存在零点，而D：f（x）=既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=符合输出的条件故选：D【点评】： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当
6、的数学模型解模6（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A 12 B 24 C 40 D 72【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用棱锥和长方体的体积公式，可得答案【解析】： 解：由三视图得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥和长方体的组合体，长方体的长宽高分别为3，4，2，故长方体的体积为342=24，四棱锥的底面积为：34=12，高为62=4，故四棱锥的体积为：124=16，故组合体的体积V=24+16=40，故选：C【点评】： 解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度
7、，然后利用几何体的面积及体积公式解决7（5分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=xy的取值范围是（） A 1，2 B 2，1 C 2，1 D 1，2【考点】： 简单线性规划【专题】： 计算题；不等式的解法及应用【分析】： 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z=xy对应的直线进行平移，观察x轴上的截距变化，得出目标函数的最大、最小值，即可得到z=xy的取值范围【解析】： 解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，1），C（0，1）设z=F（x，y）=xy，将直线l：z=xy进行平移，观察x轴上的截距
8、变化，可得当l经过点C时，z达到最小值；l经过点A时，z达到最大值z最小值=F（0，1）=1，z最大值=F（2，0）=2即z=xy的取值范围是1，2故选：A【点评】： 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=xy的范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题8（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为Fl，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（） A B C D 【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得
9、a2+b2=25由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到=，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程【解析】： 解：点（3，4）在以|F1F2|为直径的圆上，c=5，可得a2+b2=25又点（3，4）在双曲线的渐近线y=上，=，联解，得a=3且b=4，可得双曲线的方程故选：C【点评】： 本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题9（5分）已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x2），y=f（x2）关于y轴对称，当x（0，2）时，f（x）=log2x2，则下列结论中正确的是（） A f（4.5）f（7）f（6.5） B f（7）f（
10、4.5）f（6.5） C f（7）f（6.5）f（4.5） D f（4.5）f（6.5）f（7）【考点】： 抽象函数及其应用【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 求解本题需要先把函数的性质研究清楚，由三个条件知函数周期为4，其对称轴方程为x=2，在区间0，2上是增函数，观察四个选项发现自变量都不在已知的单调区间内故应用相关的性质将其值用区间0，2上的函数值表示出，以方便利用单调性比较大小【解析】： 解：f（x+2）=f（x2），y=f（x2）关于y轴对称，f（x）是以4为周期的周期函数，其图象的对称轴为x=2，当x（0，2）时，f（x）=log2x2，f（x）在区间（0，2）是增函数；f（4
11、.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（2+1）=f（21）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（20.5）=f（1.5），00.511.52，且函数y=f（x）在区间0，2上是增函数，f（0.5）f（1）f（1.5），即f（4.5）f（7）f（6.5），故选：A【点评】： 本题综合考查了函数的周期性、函数的对称性与函数的单调性，涉及到了函数的三个主要性质10（5分）函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（） A 关于点（，0）对称 B 关于x=对称 C 关于点（，0）对称 D 关于x
12、=对称【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由已知求出满足条件的，值，求出函数的解析式，进而分析出函数f（x）的对称性，可得答案【解析】： 解：函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，=2，则f（x）=sin（2x+），将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）=sin2（x）+的图象，若得到的函数为奇函数，则g（0）=sin2（）+=0，即=k，kZ|，故=，故f（x）=sin（2x+），当2x+=+k，即x=+，kZ时，函数取最值，故函数f（x）的图象的对称轴方程为：x=+，kZ当k=0时，x=为函数f（x）的图象的一条对称
13、轴，故选：D【点评】： 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答的关键11（5分）已知E，F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点，且BC=2AB=2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF平面EFDC，则三棱锥AFEC外接球的体积为（） A B C D 2【考点】： 球的体积和表面积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 由题意，三棱锥AFEC外接球是正方体AC的外接球，由此三棱锥AFEC外接球的半径是，由求的体积公式可得【解析】： 解：由题意，三棱锥AFEC外接球是正方体AC的外接球，由此三棱锥AFEC外接球的半径是，所以三棱锥AFEC外接球的体
14、积为；故选B【点评】： 本题考查了三棱锥外接球的体积求法；关键是明确外接球的半径，再由球的体积公式解答12（5分）已知函数，若方程f（x）kx+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（） A B C 1，+） D 【考点】： 根的存在性及根的个数判断【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 求出函数f（x）的表达式，由f（x）kx+k=0得f（x）=kxk，然后分别作出y=f（x）和y=kxk的图象，利用图象确定k的取值范围【解析】： 解：当0x1时，1x10，所以f（x）=，由f（x）kx+k=0得f（x）=kxk，分别作出y=f（x）和y=kxk=k（x1）的图象，如图：由图象可知当直线y=k
15、xk经过点A（1，1）时，两曲线有两个交点，又直线y=k（x1）过定点B（1，0），所以过A，B两点的直线斜率k=所以要使方程f（x）kx+k=0有两个实数根，则k0故选B【点评】： 本题主要考查函数零点的应用，将方程转化为两个函数，利用数形结合，是解决本题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13（5分）某校高三文科学生的一次数学周考成绩绘制了如右图的频率分布直方图，其中成绩在40，70内的学生有120人，则该校高三文科学生共有400人【考点】： 频率分布直方图【专题】： 计算题；概率与统计【分析】： 根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进
16、行解答即可【解析】： 解：根据频率分布直方图，得；成绩在40，70）内的频率为1（0.04+0.02+0.01）10=0.3，样本容量（共有高三文科学生数）为=400（人）故答案为：400【点评】： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目14（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交于抛物线于A，B两点，若AB中点M到抛物线的准线距离为6，则线段AB的长为12【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中
17、点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离【解析】： 解：抛物线y2=4x的焦点坐标（1，0），p=2设A（x1，y1） B（x2，y2） 抛物y2=4x的线准线x=1，线段AB中点到抛物线的准线方程的距离为6，（x1+x2）=5，x1+x2=10|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=10+2=12，故答案为：12【点评】： 本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离15（5分）向量=（2，3），=（1，2），若m+与2平行，则m等于【考点】： 平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】： 平面向量及应用【分析】
18、： 由已知向量的坐标求得m+与2的坐标，再由向量平行的坐标表示列式求得m的值【解析】： 解：=（2，3），=（1，2），m+=m（2，3）+（1，2）=（2m1，3m+2），2=（2，3）2（1，2）=（4，1）又m+与2平行，（2m1）（1）4（3m+2）=0，解得：m=故答案为：【点评】： 平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别若=（a1，a2），=（b1，b2），则a1a2+b1b2=0，a1b2a2b1=0，是基础题16（5分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2c2=2b且tanA=3ta
19、nC，则b=4【考点】： 余弦定理；同角三角函数基本关系的运用【专题】： 解三角形【分析】： 已知第二个等式利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用正弦、余弦定理化简，整理得到关系式，把第一个等式代入求出b的值即可【解析】： 解：tanA=3tanC，=，即=，=，整理得：b2=2（a2c2），a2c2=2b，b2=4b，解得：b=4或b=0（舍去），则b=4故答案为：4【点评】： 此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键三解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知公差不为零的等差数列an，满足
20、a1+a3+a5=12，且a1，a5，a17成等比数列，Sn为an的前n项和（）求数列an的通项公式；（）求使Sn5an成立的最大正整数n的值【考点】： 数列的求和；等差数列的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用等差数列的前n项和公式、不等式的解法即可得出【解析】： 解：（）a1+a3+a5=12，3a3=12，a3=4a1，a5，a17成等比数列，（4+2d）2=（42d）（4+14d），d0，解得d=1，an=a3+（n3）d=4+（n3）=n+1；数列an的通项公式为：（）an=n+1，即n27n100，即，且nN+，
21、n=8，即n的最大值是8【点评】： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为4，E是BC的中点，点F在侧棱CC1上，且CC1=4CF（）求证：EFA1C；（）求点C到平面AEF的距离【考点】： 点、线、面间的距离计算【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （I）过E作ENAC于N，连结EF、NF、AC1，通过直棱柱的性质及相似三角形的性质、线面垂直的判定定理即得结论；（II）设点C到平面AEF的距离为d，利用V三棱锥CAEF=V三棱锥FAEC计算即可【解析】： 解：
22、过E作ENAC于N，连结EF（I）连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面A1C，所以EN侧面A1C，所以NFA1C，在RtCNE中，CN=CEcos60=4=1，又CC1=4CF，NFAC1，又AC1A1C，故NFAC1，A1C平面NEF，所以 EFA1C；（II）设点C到平面AEF的距离为d，则V三棱锥CAEF=V三棱锥FAEC，即SAEFd=SAECCF，所以d=【点评】： 本题考查线面垂直的判定，线线垂直的判定，考查棱锥的体积公式，从不同角度利用棱锥的体积公式是解决本题的关键，属于中档题19（12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在
23、24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响（）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下22列联表：根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？附：【考点】： 独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】：
24、应用题；概率与统计【分析】： （）确定基本事件的个数，根据古典概型的概率公式，求这3个人中至少有2个人接受挑战的概率；（）根据22列联表，得到K2的观测值，与临界值比较，即可得出结论【解析】： 解：（）这3个人接受挑战分别记为A，B，C，则分别表示这3个人不接受挑战这3个人参与该项活动的可能结果为：A，B，C，共有8种；（2分）其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：A，B，C，共有4种（4分）根据古典概型的概率公式，所求的概率为（6分）（）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关，（7分）根据22列联表，得到K2的观测值为：k=（10分）因为1.792.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下
25、认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”（12分）【点评】： 本题主要考查古典概型、独立性检验等基础统计知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等20（12分）已知函数，（）若f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，求实数a的值及f（x）的单调区间；（）当a2时，存在两点（x1，f（x1），（x2，f（x2），使得曲线y=f（x）在这两点处的切线互相平行，求证x1+x28【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【专题】： 导数的概念及应用；导数的综合应用；直线与圆【分析】： （）求出导数，求得切线的斜率，可得a=2，再由导数大于0，得增区间，导数小于
26、0，得减区间；（）分别求得曲线在两切点的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，结合条件和基本不等式，即可得证【解析】： （）解：f（x）的导数为，x（0，+），f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，则f（1）=2a=0，a=2，可得x=1或x=2（舍），当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+）（）证明：依题意：，由于x10，x20，且x1x2，则有，x1+x28【点评】： 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，同时考查两直线平行的条件：斜率相等，基本不等式的运用，属于中档题21（12分）如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y
27、2=4x的焦点重合，过F2与x轴垂直的直线与椭圆交于S，T，与抛物线交于C，D两点，且|CD|=2|ST|（）求椭圆的标准方程；（）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆相交于不同两点A和B，且满足+=t（O为坐标原点），求实数t的取值范围【考点】： 椭圆的应用；椭圆的简单性质【专题】： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）由焦点F2（1，0），根据，所以，由此能求出椭圆方程（）设过m（2，0）的直线为y=k（x2），与椭圆方程联立，得（1+2k2）x28k2x+8k22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由，得，由此结合题设条件能求出实数t
28、的取值范围【解析】： 解：（）设椭圆标准方程，由题意，抛物线y2=4x的焦点为F2（1，0），|CD|=4因为，所以（2分）又S，T，又c2=1=a2b2，所以所以椭圆的标准方程（5分）（）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x2）由消去y，得（1+2k2）x28k2x+8k22=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1，x2是方程（*）的两根，所以=（8k2）24（1+2k2）（8k22）0，即2k21，（7分）且，由，得若t=0，则P点与原点重合，与题意不符，故t0，所以，（9分）因为点P（x0，y0）在椭圆上，所以，即=，再由，得，又t0，所
29、以t（2，0）（0，2）（13分）【点评】： 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，APC的平分线分别交AB，AC于点D，E（）证明：ADE=AED；（）若AC=AP，求的值【考点】： 弦切角；相似三角形的性质【专题】： 证明题【分析】： （）根据弦切角定理，得到BAP=C，结合PE平分APC，可得BAP+APD=C+CPE，最后用三角形的外角可得A
30、DE=AED；（）根据AC=AP得到APC=C，结合（I）中的结论可得APC=C=BAP，再在APC中根据直径BC得到PAC=90+BAP，利用三角形内角和定理可得利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出APCBPA，从而【解析】： 解：（）PA是切线，AB是弦，BAP=C又APD=CPE，BAP+APD=C+CPEADE=BAP+APD，AED=C+CPE，ADE=AED（5分）（） 由（）知BAP=C，APC=BPA，AC=AP，APC=CAPC=C=BAP由三角形内角和定理可知，APC+C+CAP=180BC是圆O的直径，BAC=90APC+C+BAP=18090=90在
31、RtABC中，即，在APC与BPA中BAP=C，APB=CPA，APCBPA （10分）【点评】： 本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题找到题中角的等量关系，计算出RtABC是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）（） 若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，试求实数m值（） 设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围【考点】： 参数方程
32、化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： （I）由曲线C的极坐标方程=4cos，化为2=4cos，可得x2+y24x=0把（t是参数）代入方程上述方程可得根与系数的关系，利用|AB|=|t1t2|=即可得出；（II）曲线C的方程可化为（x2）2+y2=4，其参数方程为（为参数），设M（x，y）为曲线C上任意一点，利用正弦函数的值域即可得出【解析】： 解：（I）由曲线C的极坐标方程=4cos，化为2=4cos，x2+y24x=0把（t是参数）代入方程上述方程可得：=0，t1+t2=（m2），t1t2=m24m|AB|=|t1t2|=，解得m=1或3（II）曲线C的
33、方程可化为（x2）2+y2=4，其参数方程为（为参数），设M（x，y）为曲线C上任意一点，1，1，x+y的取值范围是【点评】： 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数的应用、正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|x+1|（）若f（x）a恒成立，求a的取值范围；（）解不等式f（x）x22x【考点】： 绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： （）讨论x的范围，去掉绝对值号，从而求出a的范围；（）通过讨论x的范围，得到不同的f（x）的表达式，从而求出不等式的解集【解析】： 解：（）f（x）=|x2|x+1|=，又当1x2时，32x+13，3f（x）3，若使f（x）a恒成立，应有afmax（x），即a3，a的取值范围是：3，+）；（）当x1时，x22x3，1x3，x=1；当1x2时，x22x2x+1，1x1，1x1；当x2时，x22x3，无解；综合上述，不等式的解集为：1，1【点评】： 不同考查了绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道中档题
