1、单元素养评价（四）(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.(2020浙江高考)已知aR,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-2【解析】选C.因为(a-1)+(a-2)i为实数,所以a-2=0,所以a=2.2.(2020全国卷)复数的虚部是()A.-B.-C.D.【解析】选D.因为=+i,所以复数的虚部为.3.设i是虚数单位,则复数z=在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为1+=1+=1-i,所以z=(1-i)3=1-3i+3i2-i3=-2-2i,所以复数z=在复平面内对应的
2、点的坐标为(-2,-2),位于第三象限.4.(2020天津高一检测)复数的共轭复数是()A.-iB.iC.-iD.i【解析】选A.=i,故其共轭复数为-i.5.已知是纯虚数,则=()A.B.C.3D.5【解析】选B.=a2-4+4ai,因为是纯虚数,所以所以a=2,所以=.6.设z的共轭复数是,若z+=4,z=8,则等于()A.iB.-iC.1D.i【解析】选D.设z=x+yi(x,yR),则=x-yi,由z+=4,z=8得所以=i.7.如图所示,在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i, 0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()A.3+iB.3-iC.1-3i
3、D.-1+3i【解析】选D.=+=1+2i-2+i=-1+3i,所以C对应的复数为-1+3i.8.设z1,z2为复数,则下列四个结论中正确的是()A.若+0,则-B.|z1-z2|=C.+=0z1=z2=0 D.z1-是纯虚数或零【解析】选D.举例说明:若z1=4+i,z2=2-2i,则=15+8i,=-8i,+0,但与-都是虚数,不能比较大小,故A错;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,故|z1-z2|与不一定相等,B错;若z1=2+i,z2=1-2i,则=3+4i,=-3-4i,+=0,但z1=z2=0不成立,故C错;设z1=a+bi(a,bR),则=a-bi,故z1-=2bi
4、,当b=0时是零,当b0时,是纯虚数.故D正确.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知i为虚数单位,复数z=,则以下真命题的是()A.z的共轭复数为-B.z的虚部为C.=3D.z在复平面内对应的点在第一象限【解析】选AD.z=+,故=-,故A正确.z的虚部为,故B错,=3,故C错,z在复平面内对应的点为,故D正确.10.(2020三亚高一检测)已知x,yR,i为虚数单位,且i-y=-1+2i,复数z=,则以下结论正确的是()A.z的虚部为-2iB.z的模为2C.z的共轭复数为2iD.z对应的点在第四象限【解析】选BC.因为i-y=-1+2
5、i,所以解得所以z=-2i.对于A,z的虚部为-2,A错误;对于B,=2,B正确;对于C,z的共轭复数为2i,C正确;对于D,z对应,不在第四象限,D错误.11.已知i为虚数单位,则下面命题正确的是()A.若复数z=3+i,则=-B.复数z满足=1,z在复平面内对应的点为,则x2+=1C.若复数z1,z2满足z1=,则z1z20D.复数z=1-3i的虚部是3.【解析】选ABC.由=-,故A正确;由z在复平面内对应的点为,则=1,即=1,则x2+=1,故B正确;设复数z1=a+bi,则z2=a-bi(a,bR),所以z1z2=a2+b20,故C正确;复数z=1-3i的虚部是-3,故D不正确.12
6、.已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是()A.P0点的坐标为(1,2)B.复数z0的共轭复数的虚部为-2iC.复数z对应的点Z在一条直线上D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为【解析】选ACD.对于A,由复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0可得P0,故A正确;对于B,复数z0的共轭复数为=1-2i,的虚部为-2,故B错误;对于C,设z=x+yi(x,yR),则点Z,由|z-1|=|z-i|可得=,所以=,整理得y=x,所以Z点在直线y=x上,故C正确;对于D,易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0,Z之
7、间距离的最小值,点P0到直线y=x的距离d=,故D正确.三、填空题(每小题5分,共20分)13.(2020天津高考)i是虚数单位,复数=_.【解析】=3-2i.答案:3-2i14.(2020北京高一检测)已知i为虚数单位,若复数z满足z+=1+i,则实数a的值为_.【解析】设z=m+ni,=m-ni,m,nR,则可得2m=1+i,所以a=5,m=.答案:515.设z-2i=,则=_,z=_.【解析】因为z-2i=-i,所以z=2i-i=i,则|z|=1,z=i(-i)=1.答案:1116.(2020全国卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=_.【解
8、析】因为|z1|=|z2|=2,可设z1=2cos +2sin i,z2=2cos +2sin i,所以z1+z2=2(cos +cos )+2(sin +sin )i=+i,所以,两式平方作和得:4(2+2cos cos +2sin sin )=4,化简得cos cos +sin sin =-,所以|z1-z2|=|2(cos -cos )+2(sin -sin )i|=2.答案:2四、解答题(共70分)17.(10分)已知复数z1=1-i,z1z2+=2+2i,求复数z2. 【解析】因为z1=1-i,所以=1+i,所以z1z2=2+2i-=2+2i-(1+i)=1+i.设z2=a+bi(a
9、,bR),由z1z2=1+i,得(1-i)(a+bi)=1+i,所以(a+b)+(b-a)i=1+i,所以解得a=0,b=1,所以z2=i.18.(12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求ABC的面积.【解析】(1)设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,所以z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以SABC=1.当z=-1-i时,z2=
10、2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以SABC=1.19.(12分)复数z=-+(6m-16)i.(i为虚数单位)(1)若复数z为纯虚数,求实数m的值;(2)若复数z对应的点在第三象限或第四象限,求实数m的取值范围.【解析】 (1)z=-+(6m-16)i,因为复数z为纯虚数,所以所以m=-2;(2)因为复数z对应的点在第三、四象限,所以解得因此实数m的取值范围为.20.(12分)已知z为虚数,z+为实数.(1)若z-2为纯虚数,求虚数z;(2)求|z-4|的取值范围. 【解析】设z=x+yi(x,yR,y0).(1)z-2=x-2+yi,由z-
11、2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+=2+yi+=2+iR,得y-=0,y=3,所以z=2+3i或z=2-3i.(2)因为z+=x+yi+=x+iR,所以y-=0,因为y0,所以(x-2)2+y2=9,由(x-2)29得x(-1,5),所以|z-4|=|x+yi-4|=(1,5).21.(12分)(2020上海高一检测)设两复数集合M=,N=z|z=2cos +i(+3sin ),R(i为虚数单位),且MN,求实数的取值范围.【解析】由MN,可知至少存在一个复数z同时属于集合M和N,即m+i=2cos +i(+3sin ),故从而=4-4cos2-3sin =4sin2-3sin =4-,由-1sin 1,得-7.22.(12分)(2020南京高一检测)已知z是复数,z+2i与均为实数(i为虚数单位),且复数在复平面上对应点在第一象限.(1)求复数z;(2)求实数a的取值范围.【解析】(1)设z=x+yi,又z+2i=x+i,且为实数,所以y+2=0,解得y=-2.所以=,因为为实数,所以=0,解得x=4.所以z=4-2i.(2)因为复数=16-+8i=+i,所以,解得2a6.即实数a的取值范围是.
