1、9.9圆锥曲线的综合问题最新考纲考情考向分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2.了解圆锥曲线的简单应用3.理解数形结合的思想.以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题题型主要以解答题形式出现，属于中高档题.1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；0)上，且直线AB过抛物线的焦点，则y1y2p2.()题组二教材改编2过点(0,1)作直线，使它与
2、抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条C3条 D4条答案C解析过(0,1)与抛物线y24x相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点3已知与向量v(1,0)平行的直线l与双曲线y21相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_答案4解析由题意可设直线l的方程为ym，代入y21得x24(1m2)，所以x12，x22，所以|AB|x1x2|44，即当m0时，|AB|有最小值4.题组三易错自纠4过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条 B有且只有两条C有且只有三条
3、D有且只有四条答案B解析设该抛物线的焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|AF|FB|xAxBxAxB132p2.所以符合条件的直线有且只有两条5(2018届江西省南昌市三模)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为_答案6已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析抛物线的准线方程为y，焦点为F，a22c2.设抛物线的准线y交双曲线于M，N两点，即1，解得xa，2a2c.
4、又b2c2a2，由，得2.11，解得1.双曲线的渐近线方程为yx.第1课时范围、最值问题题型一范围问题典例 (2016天津)设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A.已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围解(1)设F(c,0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k23)
5、x216k2x16k2120.解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH.因此直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM.在MAO中，由MOAMAO，得|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简，得xM1，即1，解得k或k.所以直线l的斜率的取值范围为.思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的简单性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不
6、等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围跟踪训练 (2018开封质检)已知椭圆C：1(ab0)与双曲线y21的离心率互为倒数，且直线xy20经过椭圆的右顶点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围解(1)双曲线的离心率为，椭圆的离心率e.又直线xy20经过椭圆的右顶点，右顶点为点(2,0)，即a2，c，b1，椭圆方程为y21.(2)由题意可设直线的方
7、程为ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立消去y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，则x1x2，x1x2，于是y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故k2，则m20.由m0得k2，解得k.又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，得0m22，显然m21(否则x1x20，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)设原点O到直线的距离为d，则SOMN|MN|d|x1x2|m|.故由m的取值范围可得OMN面积的取值范围为(0,1)题
8、型二最值问题命题点1利用三角函数有界性求最值典例 过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|BF|的最小值是()A2 B. C4 D2答案C解析设直线AB的倾斜角为，可得|AF|，|BF|，则|AF|BF|4.命题点2数形结合利用几何性质求最值典例 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_答案解析双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.命题点3转化为函数利用基本不等式或二
9、次函数求最值典例 (2017山东)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：yk1x交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2.M是线段OC延长线上一点，且|MC|AB|23，M的半径为|MC|，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率解(1)由题意知e，2c2，所以c1，所以a，b1，所以椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得(4k2)x24k1x10.由题意知0，且x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2
10、| .由题意可知，圆M的半径r为r|AB|，由题设知k1k2，所以k2，因此直线OC的方程为yx.联立方程得x2，y2，因此|OC|.由题意可知，sin.而，令t12k，则t1，(0,1)，因此1，当且仅当，即t2时等号成立，此时k1，所以sin ，因此，所以SOT的最大值为.综上所述，SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1.思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、简单性质以及平面简单中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的
11、函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解跟踪训练 (2018邢台模拟)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将AB的中点M代入直线方程ymx，解得b，由得m或m.(2)令t，则t2.则|AB|，且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d ，当且仅当t2时，等号成立，此时满足t2.故AOB面积的最大值为.1(2017河北武邑中学模拟)
12、已知P(x0，y0)是椭圆C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则x0的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由题意可知：F1(，0)，F2(，0)，则(x0)(x0)yxy30，点P在椭圆上，则y1，故x30，解得x0，即x0的取值范围是.2斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.答案C解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.3过抛物线y2x的焦点F的直线l交抛物线于A，
13、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析记点A的横坐标是x1，则有|AF|x1|AF|cos ，|AF|(1cos )，|AF|.由得1cos ，22(1cos )4，0，b0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|28a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2答案C解析由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，所以|PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2a4a2c，
14、所以e3.又e1，所以10)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B.C. D1答案A解析由题意可得F，设P(y00)，则()，可得k.当且仅当时取得等号，故选A.6(2017九江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x24y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则AOB面积的最小值为()A. B2C2 D4答案B解析设P(x0，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又A，B在抛物线上，所以y1，y2.因为y，则过点A，B的切线分别为y(xx1)，y(xx2)均过点P(x0，1)，则1(x0x1)，1
15、(x0x2)，即x1，x2是方程1(x0x)的两根，则x1x22x0，x1x24，设直线AB的方程为ykxb，联立得x24kx4b0，则x1x24b4，即b1，|AB|x1x2|，O到直线AB的距离d，则SAOB|AB|d2，即AOB的面积的最小值为2，故选B.7(2017泉州质检)椭圆C：y21(a1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|BF2|的最大值为_答案7解析因为椭圆C的离心率为，所以，解得a2，由椭圆定义得|AF2|BF2|AB|4a8，即|AF2|BF2|8|AB|，而由焦点弦性质，知当ABx轴时，|AB|取最小值21，因此|AF2
16、|BF2|的最大值为817.8(2018届贵州黔东南州联考)定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为_答案解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2x的焦点为F，抛物线的准线为x，所求的距离d，所以(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号)9(2017泉州模拟)椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则F1PQ的内切圆面积的最大值是_答案解析令直线l：xmy1，与椭圆方程联立消去x，得(3m24)y26my90，可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2，y1y2.
17、可知SF1PQ|F1F2|y1y2|12，又，故3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长l4a8，则内切圆半径r，其面积最大值为.10(2018日照模拟)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为_答案6解析点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，由题意得左焦点F(1,0)，(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2x2.3x3，x，2，2，6212，即612.故最小值为6.11已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度
18、的最小值解(1)由题意，得椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22，因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为弦AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边
19、形APBQ面积的最小值解(1)因为e1e2，所以 ，即a4b4a4，因此a22b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)，于是bb|F2F4|1，所以b1，a22.故C1，C2的方程分别为y21，y21.(2)因为AB不垂直于y轴，且过点F1(1,0)，故可设直线AB的方程为xmy1.由得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为，PQ的方程为yx，即mx2y0.由得(2m2)x24，所以2m20，且x2，y2，从而|PQ|
20、22.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d.因为点A，B在直线mx2y0的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而2d.又因为|y1y2|，所以2d.故四边形APBQ的面积S|PQ|2d2.而00，b0)的一条渐近线与抛物线y2x的一个交点的横坐标为x0，若x01，则双曲线C的离心率e的取值范围是()A. B(，)C(1，) D.答案C解析不妨联立yx与y2x，消去y得x2x，由x01，知1，即1，故e21，所以1e0，b0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交于B，C两点，记BAC，若的离心率为，则()A BC D答案B解析e，ca，b2c2a2a2，双曲线方程可变形为x2y2a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(x0，y0)，点B(x0，y0)在双曲线上，xya2.A(a,0)，(x0a，y0)，(x0a，y0)，(x0a)(x0a)ya2xy0，即.故选B.16(2017郑州质检)已知椭圆C1：1与双曲线C2：1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为_答案解析椭圆C1：1，am2，bn，cm2n，e1.双曲线C2：1，am，bn，cmn，由条件知m2nmn，则n1，e1.由m0得m22，1，即e，而0e11，e11.
