1、【2015年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题六 选讲部分几何证明选讲【背一背重点知识】1、比例线段有关定理（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。（2）平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。2、相似三角形的判定及性质（1）相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似
2、三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。（2）相似三角形的性质：性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；
3、性质:2：相似三角形周长的比等于相似比；性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。注：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。3、直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。4、圆周角定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。5、圆内接四边形的性质与判定定理定理
4、1：圆的内接四边形的对角互补。定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。6、圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。7、弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。8、与圆有关的比例线段（圆幂定理）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的
5、两条线段长的积相等。割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。【讲一讲提高技能】1. 必备技能：（1） 相似三角形的判定与性质的应用判定两个三角形相似的方法：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的定义证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似
6、三角形的性质构造比例式或利用中间比求解 相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等（2）四点共圆的证明方法 求证四边形的一个外角等于与它不相邻的内角；（2）当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补。（2） 平面几何中有关角与比例线段问题的求解方法 与切线有关的角度问题，应考虑应用弦切角的性质定理求解； 与切线有关的比例式或线段问题，应注意利用弦切角，确定三角形相似的条件，若条件不明显需添加辅助线 与圆
7、有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理2.典型例题例1、如图所示，已知O是ABC的外接圆，ABBC，AD是BC边上的高，AE是O的直径(1)求证：ACBCADAE；(2)过点C作O的切线交BA的延长线于点F，若AF4，CF6，求AC的长【解析】例2如图，AB是O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是O的割线，已知AC=AB.(1) 若CG=1，CD=4，求的值
8、.(2) 求证：FG/AC;【分析】 (1)证 ,根据比例可求得的值. (2)根据割线定理得比例关系,从而可证得,从而可得角相等,可证得线线平.【解析】例3、如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.【练一练提升能力】1. 如图，是圆的直径，弦于点，是延长线上一点，切圆于，交于（1）求证：为等腰三角形；（2）求线段的长2.如图所示，AB是半径为1的圆O的直径，过点A，B分别引弦AD和BE，相交于点C，过点C作CFAB，垂足为点F.已知CAB15，DCB50.(1)求E
9、AB的大小；(2)求BCBEACAD的值极坐标与参数方程【背一背重点知识】1.平面直角坐标系中的伸缩变换：2.极坐标系（1）极坐标系的概念：平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.（2）直角坐标与极坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,
10、极坐标是,则极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式（3） 常见曲线的极坐标方程：曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线3、参数方程（1）参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数,并且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.（2）参数方程和普通方程的互化：曲线的参数方程和普通
11、方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.（3）常见曲线的参数方程： 圆的参数方程为 （为参数）；椭圆的参数方程为 （为参数）；双曲线的参数方程 （为参数）；抛物线参数方程 为参数）；过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）。【讲一讲提高技能】1. 必备技能：（1）极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴正半轴重合，并在两种坐标系中取相同的长度单位，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化，极坐标方程化为直角坐标方程时通常通过构造的形式，其中方程两边同乘以或同时平方是
12、常用的变形方法，要注意变形的等价性。（2）参数方程与普通方程的互化方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如sin2cos21等；将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解（3）利用参数方程解决问题的方法过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t|PP0|时为距离使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|t1t2|
13、，P1P2的中点对应的参数为(t1t2)对于形如(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值范围等2.典型例题例1 已知曲线C：，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值【分析】在第(1)问中，可根据参数方程与普通方程的关系求解；在第(2)问中，可由曲线C的参数方程设出点P的坐标，结合点到直线的距离公式与三角函数的
14、定义得出|PA|与的关系，通过三角变换求得|PA|的最值【解析】例2在平面直接坐标系中，曲线的参数方程为为参数），且曲线上的点对应的参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线交于点.（1） 求曲线的普通方程，的极坐标方程；（2） 若是曲线上的两点，求的值.【分析】（1）由曲线上的点对应的参数可得：，解之即可得到曲线的普通方程.设圆的半径为，由于射线与曲线交于点，可得，解之即可得到圆的极坐标方程；（2）曲线的极坐标方程为：化为，把代入曲线即可得出所求的值.【解析】.例3 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴
15、建立极坐标系，点，直线l的极坐标方程为。（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；（2）设直线l与直线C的两个交点为A、B，求的值。【分析】（1）利用极坐标系与直角坐标系的互化关系得出点P和直线l的直角方程，从而进行判断位置关系；（2）由直线的直角方程写出直线的参数方程，利用直线参数方程的几何意义求出的值.【解析】【练一练提升能力】1.已知直线l是过点P(1,2)，方向向量为n(1，)的直线，圆方程2cos.(1)求直线l的参数方程；(2)设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|PN|的值2在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位。且
16、以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为（I）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线l交于点A，B若点P的坐标为（1,2）,求的最小值不等式选讲【背一背重点知识】1 三个正数的算术几何平均不等式：(1)定理3：如果a，b，c，那么，当且仅当时，等号成立即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(2) 基本不等式的推广：对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 ，当且仅当a1a2an 时，等号成立2. 柯西不等式：(1)二维形式：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2) (acbd)2，当且仅当 时，等号成立(2)向量形式：设、是两个向量
17、，则|，当且仅当是向量或存在实数k使k时等号成立(3)一般形式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当0 (i1,2，n)或存在一个实数k，使得 (i1,2，n)时，等号成立(4)二维形式的柯西不等式变式：|acbd|； |ac|bd|.3. 排序不等式：(1) 乱序和、反序和与顺序和：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bnR，且a1a2a3an，b1b2b3bn，设c1，c2，c3，cn是数组b1，b2，b3，bn的任意一个排列，则分别将Sa1c1a2c2a3c3ancn，S1a1bna2bn1a3bn
18、2anb1，S2a1b1a2b2a3b3anbn称为数组(a1，a2，a3，an)和数组(b1，b2，b3，bn)的乱序和,反序和，与顺序和(2)排序不等式(又称排序原理)：设a1a2an，b1b2b3bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，当且仅当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于乱序和等于顺序和. 4. 绝对值不等式：(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当 时，等号成立【讲一讲
19、提高技能】1.必备技能：（1）绝对值不等式的解法|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|c(c0)caxbc；|axb|c(c0)axbc或axbc。|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法：（）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ac(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体，|xa|xb|xa(xb)|ab|；图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解注意求解的过程中应同解变形 .（3） 绝对值不等式的证明含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等
20、式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理： |a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明（3）不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。2.典型例题例1已知函数.（1）求关于的不等式的解集；（2）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【分析】（1）由绝对值的意义原函数即为，然后分段求不等式的解集最后求并集即可；（2）利用绝对值不等式的性质解之【解析】例2设函数f
21、(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N.(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2.【 解析】例3 已知函数（1）解不等式（2）若.求证：.【分析】（）根据f（x）+f（x+4）=|x-1|+|x+3|=分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）8的解集；（）要证的不等式即|ab-1|a-b|，根据|a|1，|b|1，可得|ab-1|2-|a-b|2 0，从而得到所证不等式成立【解析】【练一练提升能力】1. 已知函数（1）解不等式； （2）对任意，都有成立，求实数的取值范围.2.设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)；
22、 (2).解答题（共15题）选修4-1 几何选讲部分1.如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DBDC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径 2、 如图,已知切于点E,割线PBA交于A、B两点,APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D. 求证:(); ().3如图所示，已知圆外有一点，作圆的切线，为切点，过的中点，作割线，交圆于、两点，连接并延长，交圆于点，连接交圆于点，若（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形4. 如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，延长BA和CD相交于点
23、P，.（）求的值；（）若BD为圆的直径，且，求BC的长.5. 如图，分别为的边上的点，且不于的顶点重合.已知的长为的长为的长是关于的方程的两个根.（）证明：四点共圆；（）若，且，求所在圆的半径.选修4-4 坐标系与参数方程1.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P方程为4cos30 （）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程； （）设曲线C和曲线P的交点为A、B，求AB2. 在直角坐标系中，圆：经过伸缩变换后得到曲线以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线的极坐
24、标方程为 （1）求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程； （2）在上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离3、已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为（为参数），点Q的极坐标为。（I）化圆C的参数方程为极坐标方程；（II）直线过点Q且与圆C交于M，N两点，求当弦MN的长度为最小时，直线 的直角坐标方程。4. 在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长5. 已知在直角坐标系中，圆
25、的参数方程为（为参数）()以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；()已知，圆上任意一点，求面积的最大值。选修4-5 不等式选讲1. 设（1）求的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围2.已知函数,（1）当时,解不等式: ； （2）若且,证明：，并求在等号成立时的取值范围3.已知函数f(x)=|x+2|+|2x4|（1）求f(x)6的解集； （2）若关于的不等式f(x)m23m的解集是R，求m的取值范围4. 已知函数（）当时，求不等式的解集；（）若的解集包含，求的取值范围.5. 设不等式2|x1|x2|0的解集为M，a，bM.(1)证明：；(2)比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由
