1、专题二 压轴填空题第五关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维三维二维
2、” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一几何体在变化过程中体积的最值问题 典例1 如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且则三棱锥体积的最大值为 【名师指点】在运动变化过程中，当变量达到某一个特殊位置时，要所求的变量的最值达到.这就要求看准变化中的临界点，从而确定最值.欲使三棱锥体积的最大，只需底面积最大，故当点C为垂直于直径AB的半径端点时，体积最大，进而利用体积公式求即可【举一反三】表面积为的球面上有四点且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若,则棱锥体积的最大值为 类
3、型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2 在四面体中，已知则四面体的外接球的半径为_【名师指点】求几何体外接球半径，首先可以确定外接球球心，通过定性到定量的过程求半径；或者可以利用补体的方法，将所求几何体的半径问题转化求规则、易求的几何体外接球半径问题处理【举一反三】在三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球的表面积为 类型三 如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、分别交于两点，设，给出以下四个结论：平面平面；直线平面始终成立；四边形周长，是单调函数；四棱锥的体积为常数；以上结论正确的是_【名师指点】函数作为工具，在立体最值问题应用也比较多.先设一个几何变量，将要研究的
4、几何量表示为该变量的函数，根据函数式的特征，确定求解方法.如“配方法”“求导法”等进行求解.【举一反三】已知正方体的体对角线为，点在题对角线上运动（动点不与体对角线的端点重合）现以点为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面积的交线长度和为，则函数的图象最有可能是_.【精选名校模拟】图11已知正三角形的三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是_2.在三棱锥中，两两垂直，且，设是底面内一点，定义，其中分别是三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积，若，且，则正实数的最小值为_.3、已知在直角梯形ABCD中，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥
5、D-ABC，当三棱锥D-ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为 4、如图3，在棱长为的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率 .图35如图5，已知点是正方体的棱上的一个动点，设异面直线与所成的角为，则的最小值是 图56正方体的棱长为，底面的对角线在平面内，则正方体在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是 7已知的三边长分别为，是边上的点，是平面外一点给出下列四个命题：若平面，且是边中点，则有；若，平面，则面积的最小值为；若，平面，则三棱锥的外接球体积为；若，在平面上的射影是内切圆的圆心，则三棱锥的体积为；其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）8长和宽分别相等的两个矩形如图
6、8所示给定下列四个命题：图8存在三棱柱，其正视图、侧视图如图；图8存在四棱柱，其俯视图与其中一个视图完全一样；存在圆柱，其正视图、侧视图如图；若矩形的长与宽分别是2和1，则该几何体的最大体积为4.其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)9如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项)（1）是定值 （2）点在某个球面上运动（3）存在某个位置，使 （4）存在某个位置，使平面10已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，则三棱锥外接球体积为 11如图10，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将
7、容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形的面积不改变；棱始终与水面平行；当时，是定值其中正确说法是 12如图11所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点给出下列四个结论：图11存在点，使得/平面；存在点，使得平面；对于任意的点，平面平面；对于任意的点，四棱锥的体积均不变.其中，所有正确结论的序号是_13设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记.当APC为钝角时，的取值范围是_14如图13是从上下底面处在水平状态下的棱长为的正方体中分离出来的.有如下结论：图13在图中的度数和它表示的角的真实度数都是；与所成的角是；若，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛的水.其中正确的结论是 （请填上你所有认为正确结论的序号）.15.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时四面体外接球表面积为_ .