1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.根据确定直线位置的几何要素,探索直线的点斜式方程.2.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会熟练应用.3.了解截距的概念,了解直线方程的斜截式方程与一次函数的关系.4.会用直线的点斜式方程和斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.5.培养直观想象、数学抽象和数学运算素养.自主预习 新知导学一、直线的点斜式方程【问题思考】1.建立直线的方程指的是求什么?提示:就是利用确定直线位置的几何要素,建立直线上任意一点的横坐标x,纵坐标y所满足的关系式.2.如图,直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k.设点P(x,y)是直线l
2、上不同于点P0的任意一点,怎样建立x,y之间的关系式?该关系式是直线l的方程吗?3.填表:直线的点斜式方程4.做一做:已知直线l的点斜式方程为y-2=3(x+1),则直线l的斜率是()A.2B.-1C.3D.-3答案:C二、直线的斜截式方程【问题思考】1.经过定点(0,b)且斜率为k的直线l的方程如何表示?提示:将k及点(0,b)代入直线的点斜式方程,得y=kx+b.2.直线y=kx+b在y轴上的截距b是直线与y轴的交点到原点的距离吗?它的取值范围是什么?提示:不是直线与y轴的交点到原点的距离,是直线y=kx+b与y轴的交点的纵坐标,截距b的取值范围是R.3.一次函数的解析式y=kx+b与直线
3、的斜截式方程y=kx+b有什么不同?提示:一次函数的x的系数k0,否则就不是一次函数了;直线的斜截式方程y=kx+b中的k可以为0.4.填表:直线的斜截式方程5.当直线l的倾斜角为0时,如图所示,tan 0=0,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是y-y0=0,即y=y0.当直线l的倾斜角为90时,如图所示,因为tan 90无意义,即直线的斜率不存在,这时直线l与y轴平行或重合,所以它的方程不能用点斜式或斜截式表示.又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是x-x0=0,即x=x0.6.做一做:直线y=2x-3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A.2,3B.-3
4、,-3C.-3,2D.2,-3答案:D三、直线平行、垂直的判断【问题思考】1.设直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,根据上一节判断两条直线平行、垂直的结论,回答下列问题:(1)若k1=k2,请问l1与l2一定平行吗?提示:不一定平行,当b1=b2时,l1与l2重合.(2)l1l2的条件是什么?提示:k1k2=-1.2.填空:已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,(1)l1l2k1=k2,且b1b2;(2)l1l2k1k2=-1.3.做一做:已知两条直线y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行,则a等于()A.2B.1C.0D.-1解析:由a=2-a,得a=1
5、.答案:B【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线.()(3)直线的斜截式方程y=kx+b即为一次函数的解析式.()(4)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.()(5)对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2的充要条件是k1=k2.()合作探究 释疑解惑探究一探究二探究三易错辨析探究一直线的点斜式方程【例1】根据下列条件,求直线的方程:(1)经过点A(2,5),斜率是4;(2)经过点B(2,3),倾斜角是45;(3)经过点C(-1,-1),与x轴平行;(4)经过点D(1,1),与x轴
6、垂直.分析:注意斜率是否存在.若存在,方程为y-y0=k(x-x0);若不存在,方程为x=x0.探究一探究二探究三易错辨析解:(1)直线经过点A(2,5),斜率是4,代入点斜式方程得y-5=4(x-2),即y=4x-3.(2)直线的倾斜角是45,此直线的斜率k=tan 45=1,直线经过点B(2,3),代入点斜式方程得y-3=x-2.(3)直线与x轴平行,倾斜角为0,斜率k=0.直线经过点C(-1,-1),代入点斜式方程得y+1=0(x+1),即y=-1.(4)直线与x轴垂直,斜率不存在,故不能用点斜式表示这条直线的方程.由于直线上每一点的横坐标都等于1,故此直线的方程为x=1.探究一探究二探
7、究三易错辨析反思感悟 求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上任意一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.特别注意:当斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程为x=x0.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练1】求出经过点P(3,4),且满足下列条件的直线方程,并画出图形.(1)斜率k=2;(2)与x轴平行;(3)与x轴垂直.解:(1)直线经过点P(3,4),斜率k=2,代入点斜式方程得y-4=2(x-3).当y=0时,x=1,则直线经过点(1,0),已知两点坐标可作出直线的图象,如图所示.探究一探究二探究三易错辨析(2)直线经过点P(3,4),
8、且与x轴平行,即斜率k=0,直线方程为y=4,如图所示.(3)直线经过点P(3,4),且与x轴垂直,直线方程为x=3,如图所示.探究一探究二探究三易错辨析探究二直线的斜截式方程【例2】求满足下列条件的直线方程:(1)斜率为2,在y轴上的截距为-1;(2)倾斜角为直线y=x+1的倾斜角的一半,在y轴上的截距为-2;(3)倾斜角为60,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.分析:根据条件确定直线的斜率及直线在y轴上的截距,代入斜截式即可.探究一探究二探究三易错辨析解:(1)由题意得k=2,b=-1,代入斜截式方程得y=2x-1.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 1.直线在y轴上的截距是直线与y轴的交
9、点的纵坐标,它是个数值,可正、可负、可为零.2.直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线的图象就一目了然.因此,在解决直线的图象问题时,常把直线方程化为斜截式方程.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练2】直线l与直线l1:y=2x+6在y轴上有相同的截距,且l的斜率与l1的斜率互为相反数,则直线l的方程为.解析:由直线l1的方程可知它的斜率为2,它在y轴上的截距为6,所以直线l的斜率为-2,在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为y=-2x+6.答案:y=-2x+6探究一探究二探究三易错辨析探究三两条直线的
10、平行与垂直【例3】(1)当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2,平行?垂直?(2)若点A(1,2)在直线l上的射影为B(-1,4),求直线l的方程.分析:对于(1),可利用l1l2k1=k2,且b1b2;l1l2k1k2=-1求解.对于(2),由A在l上的射影为B,可知点B在l上,且直线ABl,列出关系式求解.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2,l1l2k1=k2,且b1b2;l1l2k1k2=-1.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练3】(1)已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a
11、=;解析:(1)由题意得a(a+2)=-1,解得a=-1.探究一探究二探究三易错辨析【易错辨析】误把“截距”当“距离”致误探究一探究二探究三易错辨析以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述解法的错误主要在于“误把直线在y轴上的截距当作交点到原点的距离”.探究一探究二探究三易错辨析防范措施 直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标,而不是交点到原点的距离,因此本题在求得截距后,应对截距取绝对值,再建立面积表达式.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练】已知直线l经过点P(-2,0),且与两坐标轴围成的三角形的面积为10,则直线l的方程为.解析:设直线l在y
12、轴上的截距为b,代入斜截式方程得y=-5x-10.综上,直线l的方程为y=5x+10或y=-5x-10.答案:y=5x+10或y=-5x-10随堂练习1.过点M(-3,1),斜率为2的直线方程是()A.y=2x+7B.y=2x-7C.y=-2x+7D.y=-2x-7解析:由直线的点斜式方程,得y-1=2(x+3),即y=2x+7.答案:A2.直线l:y=kx+b的图象如图所示,则k,b满足()A.k0,b0B.k0,b0C.k0D.k0,b0解析:由题图可知直线的倾斜角为钝角,且直线在y轴上的截距为负值,故k0,b0.答案:B3.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是()答案:D 4.无论k取何值,直线y-2=k(x+1)经过的定点是.答案:(-1,2)5.若直线y=(a2-1)x+2与直线y=3x+a平行,则a的值为.解析:由a2-1=3,且a2,得a=-2.答案:-2
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