1、内容索引010203知识梳理 构建体系专题归纳 核心突破高考体验知识梳理 构建体系【知识网络】【要点梳理】1.什么是直线的倾斜角?什么是直线的斜率?过两点的直线的斜率公式呢?提示:(1)直线的倾斜角:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.因此,直线的倾斜角的取值范围为0,).(2)直线的斜率:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan,倾斜角是90的直线没有斜率,倾斜角不是90的直线都有斜率.(3)过两点的直线的斜率公式:经过两点P1(x1,y1),
2、P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k=.2.关于直线方程的五种形式,请填写下表:3.关于两条直线位置关系的判定,请填写下表:4.关于两点间的距离公式、点到直线距离公式及两条平行直线间的距离公式,请填写下表:5.关于圆的定义与方程,请填写下表:6.如何判定点A(x0,y0)与C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系?提示:(1)|AC|r点A在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r点A在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2.7.关于直线与圆的位置关系:把直线的方程与圆的方程组成的方程组通过消元转化为一个一元二次方程,其判别式为.设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则
3、直线与圆的位置关系如下表:8.怎样求直线被圆截得的弦长?(2)代数法:利用两点间的距离公式及根与系数的关系求解.设直线与圆的两交点分别是A(xA,yA),B(xB,yB).若直线的斜率k存在,若直线斜率不存在,则可直接求得点A,B的坐标,进而求得弦长.说明:弦长、弦心距的计算常用几何法.9.关于圆与圆的位置关系,请完成下表:O1,O2半径分别为r1,r2,d=|O1O2|.【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“”,错误的画“”:(1)在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角与斜率.()(2)直线的截距是直线与坐标轴的交点到原点的距离.()(7)如果直线方程与圆的方程组成的
4、方程组有解,那么直线与圆相交或相切.()(8)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交.()(9)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程.()专题归纳 核心突破专题一专题二专题三专题四专题五专题一求直线的方程【例1】已知正方形中心为点M(-1,0),一条边所在直线的方程是x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程.分析:已知正方形的中心坐标和一条边所在直线的方程,由正方形的性质中心到各边的距离相等,用待定系数法列方程求解.专题一专题二专题三专题四专题五所以另两边所在直线的方程为3x-y+9=0和3x-y-3=0.综上,正方形其他三边所在直线的方程为x+
5、3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.专题一专题二专题三专题四专题五反思感悟 具有某种共同属性的一类直线的集合,我们称之为直线系,这一属性可通过直线系方程体现出来,它们的变化存在于参数之中,常见的直线系有:(1)过已知点P(x0,y0)的直线系y-y0=k(x-x0)(k为参数).(2)斜率为k的平行直线系方程y=kx+b(b为参数).(3)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+=0(为参数).(4)与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+=0(为参数).(5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方
6、程:l1:A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(为参数).(但不包含直线A2x+B2y+C2=0)专题一专题二专题三专题四专题五【变式训练1】已知直线l经过直线x+3y-10=0与直线3x-y=0的交点,且原点到l的距离为1,求直线l的方程.解法一:由题意可设直线l的方程为x+3y-10+(3x-y)=0,R,即(1+3)x+(3-)y-10=0.由原点到直线l的距离为1,即2=9,解得=3.代入方程中,得直线l的方程为x=1或4x-3y+5=0.专题一专题二专题三专题四专题五即4x-3y+5=0.当直线斜率不存在时,直线方程为x=1符合题意.故直线l的方程为x=1或4x-3y+
7、5=0.专题一专题二专题三专题四专题五专题二直线位置关系的判定【例2】当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?解:l1l2,(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0.解得a=1.故当a=1或a=-1时,l1l2.反思感悟 利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分内容常涉及的题型.求解时,可以利用斜率之间的关系判定.若方程都是一般式,知道平行或垂直关系,求参数的值时也可以用如下方法:直线l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0,(1)当l1l2时,可令A1B2-A2B1=0,解得参
8、数的值后,再代入方程验证,排除重合的情况;(2)当l1l2时,可利用A1A2+B1B2=0直接求参数的值.专题一专题二专题三专题四专题五【变式训练2】已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,分别求m的值,使得:(1)l1与l2相交;(2)l1,l2重合.解:(1)当m=0时,l1与l2相交.所以,当m-1,且m3时,l1与l2相交.(2)由(1)知,m0.当m=-1时,l1l2;当m=3时,l1与l2重合.所以,当m=3时,l1与l2重合.专题一专题二专题三专题四专题五专题三求圆的方程分析:利用待定系数法设出圆的标准方程,根据条件列式求解.专题一专题二专题三专题四专
9、题五解法一:设圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=10.因为圆心在直线y=2x上,所以b=2a.解由组成的方程组,得a=2,b=4或a=-2,b=-4.故所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.专题一专题二专题三专题四专题五解法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10,又因为b=2a,所以可得a=2,b=4或a=-2,b=-4.故所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.专题一专题二专题三专题四专题五反思感悟 利用待定系数法求圆的方程的一般步骤为:第一步:选择圆的方程的某一形式;第二步:由题意得a,b,
10、r(或D,E,F)的方程(组);第三步:解出a,b,r(或D,E,F);第四步:代入圆的方程.注:解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量,例如:圆的切线垂直于经过切点的半径;圆心与弦中点的连线垂直平分弦;两圆相交时,两圆圆心的连线垂直平分两圆的公共弦;两圆相切时,两圆圆心的连线过切点等.专题一专题二专题三专题四专题五专题四直线与圆、圆与圆的位置关系【例4】已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点M的圆的切线方程;(2)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2 ,求a的值.分析:(1)分切线的斜率存在与不存在两种情
11、况讨论.(2)构造直角三角形求解.专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)由圆的方程,知圆心C(1,2),半径r=2.因为(3-1)2+(1-2)24,所以点M(3,1)在圆外.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r,知直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.即3x-4y-5=0.故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.专题一专题二专题三专题四专题五(2)已知弦AB的长为2 ,圆的半径为2,则圆心到弦AB的距离为1,即圆心(1,2)到直线ax-y+4=0的距离为1.反思感悟
12、 1.求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求直线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意切线的斜率不存在的情况.2.求直线被圆所截得的弦长时,通常利用半径长、弦心距和弦长的一半满足勾股定理来解决问题.专题一专题二专题三专题四专题五【变式训练3】已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 ,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离专题一专题二专题三专题四专题五答案:B 专题一专题二专题三专题四专题五专题五数形结合思想专题一专题二专题三专
13、题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五在本例条件下,代数式2x+y的取值范围为.解析:代数式2x+y的几何意义是直线2x+y=b与半圆有交点时在y轴上的截距,如图所示.专题一专题二专题三专题四专题五反思感悟“数形结合”是把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法,是人们一种普遍思维习惯在数学上的具体表现.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”.形如u=的最值问题,可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可借助图形分析转化为动直线截距的最值问题;形如z=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可借助于图形
14、分析转化为动点到定点距离平方的最值问题.专题一专题二专题三专题四专题五【变式训练4】当曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,实数k的取值范围是()专题一专题二专题三专题四专题五其中A(-2,1),B(2,1).直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线,如图所示.设切线PC的斜率为k0,则切线PC的方程为y=k0(x-2)+4.答案:C 高考体验考点一考点二考点三考点四考点一直线的方程与距离解析:直线l的普通方程为4(x-1)-3(y-2)=0,即4x-3y+2=0,答案:D 考点一考点二考点三考点四2.(2016上海高考)l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0
15、,则l1,l2的距离为.考点一考点二考点三考点四考点二圆的方程3.(2018天津高考)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.解析:设点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),则AO=AB,所以点A在线段OB的垂直平分线上.又因为OB为该圆的一条弦,所以圆心在线段OB的垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y),所以(y-1)2=1+y2,解得y=0,所以该圆的半径为1,其方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=0考点一考点二考点三考点四考点三直线与圆的位置关系4.(2018全国高考)直线x+y+2=0分别
16、与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()答案:A 考点一考点二考点三考点四5.(2018全国高考)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.解析:圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,考点一考点二考点三考点四6.(2019浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=.考点一考点二考点三考点四考点一考点二考点三考点四8.(2018江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若=0,则点A的横坐标为.答案:3 考点一考点二考点三考点四考点四最值问题9.(2018北京高考)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos,sin)到直线x-my-2=0的距离.当,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.4答案:C 考点一考点二考点三考点四10.(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若20,则点P的横坐标的取值范围是.考点一考点二考点三考点四
