1、？8.2立体图形的直观图？课标定位素养阐释1.能用斜二测画法画出平面基本图形的直观图.2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.3.能通过直观图识别空间图形.4.培养数学抽象和直观想象素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、水平放置的平面图形的直观图【问题思考】1.在美术画图中,空间图形或实物在画板上画的既富有立体感,又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系.在画板上画实物图时,其中的直角在图中一定画成直角吗?正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么?为什么?提示:为了直观,不一定画成直角
2、.平行四边形、平行四边形、椭圆,为增加直观性.？2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤:(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x轴与y轴,两轴相交于点O,且使xOy=45(或135),它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.？3.做一做:如图,ABC是ABC的直观图,则ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形解析:因为ABx轴,AC
3、y轴,所以把直观图还原成实际图形后,ACAB,AC的长度为AC长度的2倍,所以ABC为直角三角形.答案:B？二、几何体的直观图【问题思考】1.简单几何体(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱)的直观图如何用斜二测画法画?提示:先由斜二测画法画底面,再确定z轴.？2.(1)用斜二测画法画几何体的直观图的步骤画轴:与画平面图形的直观图相比,只是多画了一个与x轴、y轴都垂直的z轴,直观图中与之对应的是z轴.画底面:在平面Oxy中使用平面图形的斜二测画法画底面.画侧棱:已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在直观图中平行性和长度都不变.成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.？(2)对于圆锥的直观图,一
4、般先画圆锥的底面,再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点,最后画出两侧的两条母线.(3)画球的直观图,一般需要画出球的轮廓线,它是一个圆.同时还经常画出经过球心的截面圆,它们的直观图是椭圆,用以衬托球的立体性.？3.做一做:若把一个侧面母线长为10 cm的圆柱的底面画在Oxy平面上,则圆柱的母线应画成()A.平行于z轴且长度为10 cmB.平行于z轴且长度为5 cmC.与z轴成45且长度为10 cmD.与z轴成45且长度为5 cm答案:A？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)关于“斜二测画法”,原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x轴,长度不变.()
5、(2)关于“斜二测画法”,原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y轴,长度变为原来的.()(3)关于“斜二测画法”,在画与直角坐标系Oxy对应的Oxy时,xOy必须是45.()？(4)关于“斜二测画法”,在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 水平放置的平面图形的直观图的画法【例1】如图,画出水平放置的正五边形ABCDE的直观图.？解:画法:(1)在图中作AGx轴于点G,作DHx轴于点H.(2)在图中画相应的x轴与y轴,两轴相交于点O,使xOy=45.(4)连接AB,AE,ED,DC,并擦去辅助线GA,HD,x轴与y轴,便得到水
6、平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图).？画水平放置的平面图形的直观图的原则(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.？【变式训练1】用斜二测画法画出边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图.解:(1)如下图所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在的直线为y轴,作平面直角坐标系Oxy.(2)画对应的x轴、y轴,使xOy=45.在x轴上截取OB=
7、OC=2 cm,在y轴上截取,连接AB,AC,则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图,如图所示.？探究二 简单几何体的直观图的画法【例2】用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD-ABCD的直观图.解:画法:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使xOy=45,xOz=90.？(2)画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行
8、线上分别截取2 cm长的线段AA,BB,CC,DD.(4)成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图).？画简单几何体的直观图的原则(1)作空间图形的直观图时,平行于x轴的线段画成平行于x轴的线段,并且长度不变.(2)平行于y轴的线段画成平行于y轴的线段,且线段长度画成原来的.(3)平行于z轴的线段画成平行于z轴的线段,并且长度不变.？【变式训练2】画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.解:画法:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使xOy=45,xOz=90,如图.？(2)画底面.以O为中心,在Oxy平面内,
9、画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点.在z轴上截取OP,使OP的长度是原四棱锥的高.(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.？探究三 直观图的还原和计算问题【例3】水平放置的ABC的直观图ABC如图所示,已知AC=3,BC=2,则原图中AB边上的中线的实际长度为.解析:把直观图还原为原图为RtABC,且C=90,AC=3,BC=4,则AB=5,AB边上的中线为,即为2.5.答案:2.5？本例改为以梯形为背景,如图,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1Oy,A1B1C1D1,A1D1=OD1=1.试画出
10、原四边形的形状,并求原图形的面积.？解:如图,建立直角坐标系Oxy,在x轴上截取OD=OD1=1,OC=OC1=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.连接BC,即得到了原图形(如图).由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2.？由直观图还原为平面图的关键是找与x轴,y轴平行的直线或线段,且平行于x轴的线段还原时长度不变,平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.？易 错 辨 析？平面图形的直观图还原致错【典例】如图所示,一梯
11、形的直观图是一个等腰梯形,且梯形OABC的面积为 ,则原梯形的面积为()错解:C以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?？提示:解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化,直观图面积S与原图形面积S满足正解:如图,由斜二测画法原理知,原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的,但两个梯形的高不一样.？答案:D？原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样,但高的长度不一样.原梯形的高OC是直观图中OC的长度的2倍,OC的长度是直观图中梯形的高的倍,此处易出错.？【变式训练】如图所示,正方形OABC的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周
12、长是.答案:8 cm？随 堂 练 习？1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段的说法错误的是()A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点解析:按斜二测画法画直观图时,角度要发生改变,即选项B错误,其余均正确.答案:B？2.(多选题)利用斜二测画法得到的直观图,下列说法正确的是()A.三角形的直观图是三角形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是正方形D.菱形的直观图是菱形解析:因平行性不改变,故B正确,A也正确;平行于y轴的线段,长度变为原来的一半,故C,D不正确.答案:AB？3.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45,腰和上底长均为1的等腰梯形,则该平面图形的面积等于()解析:平面图形是上底长为1,下底长为,高为2的直角梯形.答案:D？4.AOB用斜二测画法画出的直观图如图所示,则AOB的面积是()A.8B.16C.32D.64解析:由题图可知AOB的底边长为4,高为16,所以面积为答案:C？5.已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为cm.解析:由几何体直观图的画法知,在z轴上或平行于z轴的线段长度保持不变,故两顶点间的距离为2+3=5(cm).答案:5
