1、第二讲参数方程1、参数方程的概念（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。（2）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。并且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点P(x,y),都在圆O上.5o思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？我们把方程组叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方
2、程，是参数.观察1观察2(a,b)r又所以（3）参数方程与普通方程的互化x2+y2=r2注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。已知曲线C的参数方程是(1)判断点（0，1）,(5,4)是否在上.(2)已知点（，a）在曲线上，求a.例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，参数方程为(为参数)练习：1.填空：已知圆O的参数方程是(0 2
3、)如果圆上点P所对应的参数，则点P的坐标是A的圆，化为标准方程为（2，-2）1化为参数方程为把圆方程0142)2(22=+-+yxyxxMPAyO解:设M的坐标为(x,y),可设点P坐标为(4cos,4sin)点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点公式得:点M的轨迹方程为 x=6+2cosy=2sinx=4cosy=4sin圆x2+y2=16的参数方程为例2.如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?观察3解:设M的坐标为(x,y),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点坐
4、标公式得:点P的坐标为(2x-12,2y)(2x-12)2+(2y)2=16即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4点P在圆x2+y2=16上xMPAyO例2.如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2 的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为由于点P在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin）（1
5、）x2+y2=(3+cos)2+(2+sin)2=14+4 sin+6cos=14+2 sin(+).(其中tan =3/2)x2+y2 的最大值为14+2 ，最小值为14-2 。(2)x+y=3+cos+2+sin=5+sin（+）x+y的最大值为5+，最小值为5-。(3)显然当sin（+）=1时，d取最大值，最小值，分别为，。例4、将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1x1）（3）x2-y=2（X2或x-2）步骤：（1）消参；（2）求定义域。小 结:1、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种方法：相关点点问题（代入法）；参数法；定义法5、求最值xyACBO
