1、【数学】函数的概念和性质精品课件（湘教版必修1）函数的概念与性质1、函数的连续性2、函数的间断点3、闭区间上连续函数的性质1.概念一、函数的连续性曲线不断曲线断开函数f(x)随x的改变而逐渐改变有突变现象2.连续的定义 P50注：1)函数 f(x)在 x0 连续的等价写法(满足定义1的条件):2)若 y=f(x)在 x0 处不连续，则称 y=f(x)在 x0 处间断。3)极限与连续的关系:极限连续连续函数必有极限,有极限不一定是连续函数.例如例1证3.单侧连续定理例2解右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函
2、数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,基本初等函数在其定义域上连续,初等函数在其定义区间上连续.例3证例4.设在x=0处连续，求常数a与b应满足的关系。二、函数的间断点1.跳跃间断点例4解2.可去间断点例5解如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.3.第二类间断点例6解例7解注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,在定义域 R内其余各点处处间断.但其绝对值处处连续.例8 研究下列函数在x=0的连续性，若是间断的，指出间断点类型。
3、（a为任意实数）解：1)x=0为第一类间断点。不存在，x=0为第二类间断点。4）当a=0时f4(x)在x=0处连续。a0时 x=0为f(x)的可去间断点。2)3）小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx思考题思考题解答且1、一类；一类；二类。2、但反之不成立.例但1.3.3 闭区间上连续函数的性质0最大值和最小值定理0介值定理一、最大值和最小值定理定义:例如,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续
4、的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证证：取当|x|X时,|f(x)-A|1又|f(x)|-|A|f(x)-A|1,即:|f(x)|0,x X,都有|f(x)|M0取M=max|A|+1,M0,例1 设 f(x)在(-,+)上连续，且存在,证明 f(x)在(-,+)上有界。有渐近线二、介值定理定义:几何解释:几何解释:MBCAmab证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证由零点定理,例2证由零点定理,例5 设f(x)在(a,b)内连续，x1,x2,xn是(a,b)内任意值，证明存在一点(a,b)使证：设f(x)在(a,b)内连续，f(x)在x i,x j 上连续。x1,x2xnxi,xj由最值定理：f(x)在xi,xj 上达到最大M=f(1)，最小值m=f(2)，即据介值定理推论:至少存在使小结四个定理最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.注意 1闭区间；2连续函数这两点不满足,上述定理不一定成立解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;思考题下述命题是否正确？思考题解答不正确.例函数
