1、第8讲函数与方程1特级教师王新敞源头学子结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.结合具体函数的图象，能用二分法求近似解.2特级教师王新敞源头学子1.若函数f(x)=ax-b(b0)有一个零点,那么函数g(x)=bx2+3ax的零点是.0,-1因为函数f(x)=ax-b(b0)的零点是，所以x=3是方程ax-b=0的根，所以b=3a.将它代入函数g(x)=bx2+3ax中，可得g(x)=bx(x+1),令g(x)=0,得x=0或x=-1.3特级教师王新敞源头学子2.已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在区间是()CA.(3,4
2、)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)利用零点存在的判定条件，判断零点存在的区间.由于f(0)=-10,f(1)=-10,f(3)=230,f(4)=590.根据选择支只有区间（1，2）满足.4特级教师王新敞源头学子3.函数f(x)=3ax+1-2a,在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是()CA.-1aC.a 或a-1 D.a-1令f(-1)f(1)或a-1，故选C.5特级教师王新敞源头学子4.已知函数f(x)=()x-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解，且0 x1x0，则f(x1)的值为()AA.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0因为f(x)在定义域（0
3、，+）上单调递减，当x0时，f(x)+.因为f(x0)=0，所以f(x)=0只有一个实根.所以当0 x10恒成立，故选A.6特级教师王新敞源头学子5.设a、b、c均为正数，且2a=log a，()b=log b,()c=log2c,则a、b、c的大小关系是.cab考察函数f(x)=2x与g(x)=log x的图象的交点知，a1.同理得0b1，所以cab.7特级教师王新敞源头学子1.函数的零点(1)对于函数y=f(x),我们把使.叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象函数y=f(x).(3)如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且
4、,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有,即存在c(a,b)，使得,这个c也就是方程f(x)=0的根.f(x)=0的实数x与x轴有交点有零点f(a)f(b)0零点f(c)=08特级教师王新敞源头学子2.二分法(1)对 于 在 区 间 a,b 上 连 续 不 断 且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间,使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做.(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：一分为二零点二分法9特级教师王新敞源头学子第 一 步，确 定 区 间 a,b，验 证f(a)f(b)0,给定精确度;第二步，求区间(a
5、,b)的中点c;第三步，计算f(c);()若f(c)=0，则c就是函数的零点；()若 f(a)f(c)0,则 令 b=c(此 时 零 点x0(a,c);()若 f(c)f(b)0,则 令 a=c(此 时 零 点x0(c,b).第四步,判断是否达到精确度:即若|a-b|，则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.10特级教师王新敞源头学子题型一 函数零点的判断例1(1)已知区间(-2，-1)，(-1，0)，(0，1)，(1，2)，(2，3)，则三次方程x3+x2-2x-1=0在哪些区间上有根?(2)判断方程3x+x2-2x-1=0根的个数及符号.11特级教师王新敞源头学子(1)令f(x
6、)=x3+x2-2x-1，则f(-2)f(-1)=(-1)1=-10，所以方程在(-2,-1)上有根，同理皆可，故所求区间为.(2)令 y=3x,y=-x2+2x+1=-(x+1)2+2,则 原方程的根即为两函数图象交点的横坐标，如图，两交点的横坐标，一个小于0，一个等于0，故原方程有两个根，其一为负，其一为0.12特级教师王新敞源头学子(1)当方程的根可能存在的区间已知时，用零点存在定理判断即可,如(1);当根可能存在的区间未知时,要构造函数，观察图象.研究一个函数的零点,还是两个函数图象的交点,前提是函数能否易于作出图象.再如求x+|lgx|=2的实根的个数,可考察函数y=|lgx|,y=
7、2-x的交点的个数.(2)两函数图象交点个数问题，常转化为一个函数的零点个数问题，进而由零点存在定理判断，必要时要考察函数的单调性.13特级教师王新敞源头学子题型二 函数零点的性质的应用已知aR，函数f(x)=x2+2ax+1，如果函数y=f(x)在区间-1,1上有零点，求a的取值范围.例2=0a=1，此时当a=1时，x=-1-1，1；当a=-1时，x=1-1,1，合乎题意.14特级教师王新敞源头学子f(x)在区间-1,1上只有一个零点且不是f(x)=0的重根,此时有f(-1)f(1)1或a0f(-1)0f(1)0 -1-0、=0、0判断.2.在闭区间上零点的个数应由零点判定定理及函数图象性质
8、一并实施.16特级教师王新敞源头学子题型三 二分法例3用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间1,1.5内的一个零点(精确度为0.1).由于f(1)=1-1-1=-10，所以f(x)在区间1,1.5内存在零点，取区间1,1.5作为计算的初始区间.17特级教师王新敞源头学子用二分法逐次计算列表如下：因为|1.375-1.3125|=0.06250.1,所以函数的零点落在区间长度小于0.1的区间1.3125,1.375内,故函数零点的近似值为1.3125.端(中)点坐标中点函数值符号零点所在区间|an-bn|1,1.51,1.50.50.51,251,25f(1.25)0f(1.25)0f(1.
9、375)01.25,1.3751.25,1.3750.1250.1251.31251.3125f(1.3125)0f(1.3125)01.3125,1.3751.3125,1.3750.06250.062518特级教师王新敞源头学子1.求函数零点的近似值的关键是判断二分法求值过程中，区间长度是否小于精确度,当区间长度小于精确度时,运算结束，而此时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点的另一个值.2.“精确度”与“精确到”是两个不同的概念，精确度最后的结果不能四舍五入，而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件，即取近似值之后相同，则此时四舍五入的值即为零点的近似解.19特级教师王新敞源头学子1.
10、二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根分布问题，既可以运用公式法先求出方程的根，再列出等价条件组，也可以引入二次函数，由函数的图象特征列出等价的条件组，应因题而异，优化解题的思路.20特级教师王新敞源头学子2.函数与方程这一节内容渗透了丰富的数学思想方法，解题时需具有敏锐的观察力和较强的等价转化问题的能力，把复杂的问题化归为二次方程或二次函数问题，再运用等价转化思想、函数与方程思想、分离参数方法、分类讨论思想等解决问题.21特级教师王新敞源头学子3.二分法求方程近似解的过程中，解法的程序框图蕴涵着算法思想、符号化、模型化的思想.这些思想是现代数学的重要思想，是信息技术与数学内容有机的整合.在学习中注意体会并加以运用，有利于我们数学能力的培养、综合素质的提高.22特级教师王新敞源头学子课后再做好复习巩固课后再做好复习巩固.谢谢！谢谢！再见！23特级教师王新敞源头学子
