1、2.1 等式性质与不等式性质l 考纲要求1掌握等式性质与不等式性质2会比较两个数的大小，初步学会作差法、作商法比较两实数的大小3能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系l 知识解读知识点等式性质1如果ab，那么ba2如果ab，bc，那么ac3如果ab，那么acbc4如果ab，那么acbc5如果ab，c0，那么知识点不等式性质性质别名性质内容注意1对称性abbb，bcac不可逆3可加性abacbc可逆4可乘性ab，c0acbcab，c0acb，cdacbd同向6同向同正可乘性ab0，cd0acbd同向同正7可乘方性ab0anbn(nN，n2)同正知识点两个实数比较大小的方法1作差法：2作商法：知
2、识点常用结论1倒数性质的几个必备结论(1)ab，ab0；(2)a0b；(3)ab0,0cd；(4)0axb或axb0.2两个重要不等式若ab0，m0，则：(1)；(bm0)；(2)；(bm0)l 题型讲解题型一、用不等式或不等式组表示不等关系例1李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A30x60400B30x60400C30x60400D30x40400例2为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准
3、备投资1800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是_.例3杯中有浓度为的盐水克，杯中有浓度为的盐水克，其中杯中的盐水更咸一些若将、两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为_题型二、比较大小例4已知Mx23x，N3x2x3，则M，N的大小关系是_例5已知0a11，0a21，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNCMNDMN例6设，则（ ）A BC D例7设，比较与的大小题型三、不等式性质例8(多选题)(2020山东滨州联考)设a1b1，b0，则下列不等式中
4、恒成立的是()A BCab2 Da2b2例9对于任意实数，下列命题正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则例10已知，则下列不等式一定成立的是（ ）A BC D题型四、利用不等式性质证明例11已知，求证：例12若.求证.题型五、利用不等式性质求解范围例13设0，0，则2的范围是()A02B2C02D2例14已知，则的取值范围是_例15若11，则下列各式中恒成立的是()A20B21C10D11l 达标训练1已知a，b，c，dR，则下列命题中必成立的是()A若ab，cb，则acB若ab，则cacbC若ab，cd，则D若a2b2，则ab2(多选题)(2020山东烟台期中)下列不等式中恒成立
5、的是()Ab)B x2(x0)C(ba0c)D(a，b，m0且ab)3若6a10，b2a，cab，则c的取值范围是()A9,18B(15,30)C9,30 D(9,30)4已知，则的取值范围是_.5已知0ac；abcd；adbc.那么a，b，c，d的大小关系是_2(多选)(2022长沙模拟)设实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则下列不等式成立的是()Acb Bb1Cba Dabc，则的取值范围是_4某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人
6、数的最大值为_该小组人数的最小值为_5设x1，y1，证明xyxy.6若，,（1）求证：；（2）求证：；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由2.1 等式性质与不等式性质l 考纲要求1掌握等式性质与不等式性质2会比较两个数的大小，初步学会作差法、作商法比较两实数的大小3能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系l 知识解读知识点等式性质1如果ab，那么ba2如果ab，bc，那么ac3如果ab，那么acbc4如果ab，那么acbc5如果ab，c0，那么知识点不等式性质性质别名性质内容注意1对称性abbb，bcac不可逆3可加性abac
7、bc可逆4可乘性ab，c0acbcab，c0acb，cdacbd同向6同向同正可乘性ab0，cd0acbd同向同正7可乘方性ab0anbn(nN，n2)同正知识点两个实数比较大小的方法1作差法：2作商法：知识点常用结论1倒数性质的几个必备结论(1)ab，ab0；(2)a0b；(3)ab0,0cd；(4)0axb或axb0.2两个重要不等式若ab0，m0，则：(1)；(bm0)；(2)；(bm0)l 题型讲解题型一、用不等式或不等式组表示不等关系例1李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元设x个月后他至少有400元，则可以用于
8、计算所需要的月数x的不等式是()A30x60400B30x60400C30x60400D30x40400【答案】B【解析】x个月后他至少有400元，可表示成30x60400.例2为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是_.【答案】【解析】设该校有初中班x个，高中班y个，则有：故答案为：例3杯中有浓度为的盐水克，杯中有浓度为的盐水克，其中杯中的盐水更咸一些若将、两杯盐水混合在一
9、起，其咸淡的程度可用不等式表示为_【答案】【解析】由题意，将、两杯盐水混合再一起后浓度为，杯中的盐水更咸一些，故答案为：.题型二、比较大小例4已知Mx23x，N3x2x3，则M，N的大小关系是_【答案】MN【解析】MN(x23x)(3x2x3)4x24x3(2x1)220，MN.例5已知0a11，0a21，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNCMNDMN【答案】B【解析】0a11，0a21，1a110，1a210，MN.例6设，则（ ）A BC D【答案】D【解析】，则.故，当且仅当时，取等号，例7设，比较与的大小【答案】【解析】，.两数作商，.题型三、不等式性质例8(多
10、选题)(2020山东滨州联考)设a1b1，b0，则下列不等式中恒成立的是()A BCab2 Da2b2【答案】CD【解析】当a2，b，满足条件但不成立，故A错误，当ab0时，故B错误，1b1，b0，0b21则ab2，故C正确，a1b1，ab0，ab0，a2b2(ab)(ab)0，故D正确例9对于任意实数，下列命题正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】C【解析】A：若，则，故A错误；B：若，则，则，故B错误；C：因为，则，两边同除以，得，故C正确；D：若，则，故D错误.例10已知，则下列不等式一定成立的是（ ）A BC D【答案】D【解析】 故A错误; 故B错误; 故C错误;
11、 故D正确.题型四、利用不等式性质证明例11已知，求证：【答案】见解析【解析】因为，故，要证，即证，即证，即证：，因为，故，故，因为，故，故，故原不等式成立.例12若.求证.【答案】证明见解析.【解析】由，得，故得，即，又因为，在不等式两边同时乘以得：，不等式得证.题型五、利用不等式性质求解范围例13设0，0，则2的范围是()A02B2C02D2【答案】D【解析】由已知，得02，0 ，0，由同向不等式相加得到2.例14已知，则的取值范围是_【答案】【解析】因为，所以，所以，故答案为：例15若11，则下列各式中恒成立的是()A20B21C10D11【答案】A【解析】由11，11，得11，22.又
12、，故知20.l 达标训练1已知a，b，c，dR，则下列命题中必成立的是()A若ab，cb，则acB若ab，则cacbC若ab，cd，则D若a2b2，则ab【答案】B【解析】选项A，若a4，b2，c5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如ab0，c0d时，不成立；选项D只有ab0时才可以否则如a1，b0时不成立，故选B.2(多选题)(2020山东烟台期中)下列不等式中恒成立的是()Ab)B x2(x0)C(ba0c)D(a，b，m0且ab)【答案】CD【解析】对于A，若a1，b1，满足ab，则，则b)，不恒成立；对于B，若x0，则x2；若x0，则x2，则x2(x0)不恒成立；对于C，由b
13、a0c，可得0，则(ba0(a，b，m0且ab)恒成立3若6a10，b2a，cab，则c的取值范围是()A9,18B(15,30)C9,30 D(9,30)【答案】D【解析】b2a，ab3a，即c3a.6a10，9c30.4已知，则的取值范围是_.【答案】【解析】，则，解得，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围为5已知0ab且ab1，试比较：(1)a2b2与b的大小；(2)2ab与的大小【答案】(1)a2b2b (2)2ab【解析】(1)因为0ab且ab1，所以0ab，则a2b2ba2b(b1)a2aba(ab)0，所以a2b2b.(2)因为2ab2a(1a)2a22a220，所
14、以2abc；abcd；addca【解析】由题意知dc，得2abd2cbd，化简得ac，由式abcd及ad成立，综合式得到bdca.2(多选)(2022长沙模拟)设实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则下列不等式成立的是()Acb Bb1Cba Da0，ba.而cb44aa2(a2)20，cb，从而cba.3已知abc0，且abc，则的取值范围是_【答案】【解析】因为abc0，所以b(ac)又abc，所以a(ac)c，且a0，c，即11.所以解得2xy4，x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.xyz，当x3时，条件不成立，当x4时，条件不成立，当x5时，5yz
15、，此时z3，y4.该小组人数的最小值为12.5设x1，y1，证明xyxy.【答案】见解析【解析】证明：因为x1，y1，所以xy1，所以xyxyxy(xy)1yx(xy)2.将上面不等式中的右端减左端，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)因为x1，y1，xy1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立6若，,（1）求证：；（2）求证：；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，.【解析】（1）因为，且，所以，所以.（2）因为，所以又因为 ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得所以所以， 因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得所以，所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得.（3）因为，所以，因为，所以，所以.所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式满足题意