1、第2课时基本计数原理的应用学 习 任 务核 心 素 养1熟练应用两个计数原理(重点)2能运用两个计数原理解决一些综合性的问题(难点)1借助两个计数原理解题，提升数学运算的素养2通过合理分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养 类型1组数问题【例1】(对接教材P6例2)用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的：(1)银行存折的四位密码？(2)四位整数？(3)比2 000大的四位偶数？思路点拨(1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解；(3)可以按末位是0,2,4分三类，也可以按千位是2,3,4,5分四类解决，也可以用间接法求解解(1)分步
2、解决第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6543360(个)(2)分步解决第一步：万位数字有5种选取方法；第二步：百位数字有5种选取方法；第三步：十位数字有4种选取方法；第四步：个位数字有3种选取方法由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有5543300(个)(3)法一：按末位是0,2,4分为三类：第一类：末位是0的有44348个；第二类：末位是2的有34336个；第三类：末位是4的
3、有34336个则由分类加法计数原理有N483636120(个)法二：按千位是2,3,4,5分四类：第一类：千位是2的有24324(个)；第二类：千位是3的有34336(个)；第三类：千位是4的有24324(个)；第四类：千位是5的有34336(个)则由分类加法计数原理有N24362436120(个)法三：用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类：末位是0的有54360(个)；第二类：末位是2或4的有244396(个)共有6096156(个)其中比2 000小的有：千位是1的共有34336(个)，所以符合条件的四位偶数共有15636120(个)1对于组数问题，一般按特
4、殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解2解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则1四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为()A6 B9 C12 D24B法一：(列举法)根据0的位置分类：第一类：0在个位有：2 110,1 210,1 120，共3个第二类：0在十位有：2 101,1 201,1 102，共3个第三类：0在百位有：2 011,1 021,1 012，共3个故共有3339个
5、不同的四位数，故选B法二：(树形图法)如图，可知这样的数共有9个，故选B 类型2抽取(分配)问题【例2】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A16种 B18种C37种 D48种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有_种思路点拨(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解(2)先让一人去抽，再让被抽到贺卡所写人去抽(1)C(2)9(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去
6、工厂甲则有33种不同的分配方案则满足条件的不同的分配方案有433337(种)故选C(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有33119(种)求解抽取(分配)问题的方法1当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法2当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可23个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？解法一：(以小球为研究对象)分三步
7、来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择根据分步乘法计数原理得：共有方法数N54360(种)法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3216(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3216(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3216(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法根据分类加法计数原理得，共有方法数N66660(种) 类型3
8、涂色(种植)问题1用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？ABCD提示涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有322224(种)不同方案2在上述问题中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？提示恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共32132132118(种)不同的方案3在上述问题中，若恰好用2种不同颜色涂完
9、四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？提示若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D区域必同色先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有326(种)不同的涂色方案【例3】将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1234思路点拨注意小方格中第2个和第3个所涂颜色可能相同，也可能不同，故应分两类：所涂颜色相同和不同，分别求解解第1个小方格可以从5种
10、颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4312(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5123180(种)不同的涂法当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有54480(种)不同的涂法由分类加法计数原理可得共有18080260(种)不同的涂法(变条件)本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？解依题意，可分两类情况：不同色；同色第一类：不同色，则所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成第1步涂，从5种颜
11、色中任选一种，有5种涂法；第2步涂，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；第3步涂与第4步涂时，分别有3种涂法和2种涂法于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为5432120(种)第二类：同色，则不同色，我们可将涂色工作分成3步来完成第1步涂，有5种涂法；第2步涂，有4种涂法；第3步涂，有3种涂法于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有54360(种)综上可知，所求的涂色方法共有12060180(种)求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分
12、类加法计数原理分析；(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.3如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？解(1)当使用4种颜色时，先着色第1区域，有4种方法，剩下3种颜色涂其他4个区域，由分步乘法计数原理得共有4322148(种)(2)当仅使用3种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色第1区域，有3种方法，剩下2种颜色涂4个区域，只能是一种颜色涂第2,4区域，另一种颜色涂第3,5区域，有2种着色方法，由分步乘法计数原理得有43224(种)综上，共有482472种不同的着色方法1某
13、年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有()A6种 B7种 C8种 D9种D可按女生人数分类：若选派一名女生，有236种；若选派2名女生，则有3种由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法2从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为()A30 B20 C10 D6D从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，取出的两数都是偶数，共有3种取法；取出的两数都是奇数，共有3种取法故由分类加法计数原理得，共有N336种取法3如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A
14、，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_种108A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4333108(种)涂法45名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为_18根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3216种情况，由分步乘法计数原理，可得共有13618种分工方案5小张正在玩一款种菜的游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄
15、子或辣椒，则不同的种植方案共有_种48当第一块地种茄子时，有43224种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有43224种不同的种法，故共有48种不同的种植方案回顾本节内容，自我完成以下问题：1解决较为复杂的计数问题时，如何做到合理分类、准确分步？提示(1)处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准(2)分类时要满足两个条件：类与类之间要互斥(保证不重复)；总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准(3)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性2如何处理有特殊元素或特殊位置的计数问题？提示解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想
