1、2005年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：5月15日上午8：3011：00)题号一二总分11011121314得分评卷人复查人答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线.3.草稿纸不上交.一、填空题(共10小题，每小题9分，满分90分)1.y=+的最大值为a，最小值为b，则ab等于 .2.已知实数b,c满足b2c，且函数当bxc时有最大值4c，最小值b，则b+c= .3.已知集合，对它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和(例如，A=2,3,8，则可求得和为(-1)22+(-1)33+(-1)88=7),对S的所有非空子集，这些和的总和为 .4.已知两个
2、集合A=，B=，若AB，则整数a 的值为 .5.函数f(x)的定义域为(0,+)，并且对任意正实数x，都有f(x)+2f()=3x，则f(2)= .6.a,b,c是正整数，且成等比数列，b-a是一个完全平方数，log6a+log6b+log6c=6，则a+b+c= .7.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0),(x2,0)且-=8a-3，则a的值为 .8.若不等式对-1a1恒成立，则x的取值范围是 .9.已知数列ak的通项ak=2k，k=1，2，n，则所有的aiaj(1ijn)的和为 .10.设n为正整数，记12n为n!(例如1！=1，2！=12，
3、5！=12345)，若存在正整数a2，a3，a4，a5，a6满足=+，这里0aiI，i=2，3，4，5，6，则等于 .二、解答题(共4小题，每小题15分，满分60分)11.设a,b,c这三个质数成等差数列，公差为10，求出所有这样的a,b,c.12.设f(x)=ax2+bx+c(a，b，cR)，已知，求证：当x-1,1时，.13.在直角三角形ABC中，B=90，它的内切圆分别与BC，CA，AB相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点p，连接PC，PE，PF，FD.已知PCPF.求证：(1)=(2)PEBC.14.设集合A的元素都是正整数，满足如下条件： (1)A的元素个数不小于3；
4、(2)若aA，则a的所有正因数都属于A (3)若aA，bA，1ab，则1+abA.请解答下面的问题：(1)证明：1，2，3，4，5都是集合A的元素(2)问：2005是否是集合A的元素？并说明理由。2005年福建省高一数学竞赛参考答案一、填空题(共10小题，每小题9分，满分90分)1.y=+的最大值为a，最小值为b，则ab等于 .解：首先，由，且，得.由于，所以，当x=时，y2取得最大值，故a=当x=或时，y2取得最小值，故b=，所以，ab=2.已知实数b,c满足b20.显然a0，y0，从而a0或a2x+5对恒成立，即关于a的不等式x2a+5x-60对恒成立.令，则所以，2x39.已知数列ak的
5、通项ak=2k，k=1，2，n，则所有的aiaj(1ijn)的和为 .解：因为，而，所以10.设n为正整数，记12n为n!(例如1！=1，2！=12，5！=12345)，若存在正整数a2，a3，a4，a5，a6满足=+，这里0aiI，i=2，3，4，5，6，则等于 .解：在题设等式的两边乘以6！，得3120=3456a2+456a3+56a4+6a5+a6，因为，所以，而0a60时，a不是质数.综上所述，满足题意的a，b，c为a=3，b=13，c=23.15分12.设f(x)=ax2+bx+c(a，b，cR)，已知，求证：当x-1,1时，.证：因为所以5分于是 = 10分 15分13.在直角三
6、角形ABC中，B=90，它的内切圆分别与BC，CA，AB相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点p，连接PC，PE，PF，FD.已知PCPF.求证：(1)=(2)PEBC.证：（1）连接DE，DF，则BDF是等腰三角形.于是FPD=FDB=45，故DPC=45.又PDC=PFD，所以所以. 5分（2）又由AFP=ADF，AEP=ADE，所以，AEPADF，AEPADE，于是，故由得. 10分因为EPD=EDC，结合得，EPDEDC，所以，EPD也是等腰三角形，所以PEBC15分14.设集合A的元素都是正整数，满足如下条件： (1)A的元素个数不小于3； (2)若aA，则a的所有正因数
7、都属于A (3)若aA，bA，1ab，则1+abA.请解答下面的问题：(1)证明：1，2，3，4，5都是集合A的元素(2)问：2005是否是集合A的元素？并说明理由。解：（1）首先，易知aA.设aA，bA，1a2)，则1+2aA，1+2(1+2a)=3+4aA，1+(1+2a)(3+4a)=4+10a+8a2A,若a是偶数，则，于是4A；若a是奇数，则把4+10a+8a2作为a重复上面的过程可得4A.又1+24=9A，所以3A，1+23=7A，1+27=15A,所以5A.所以，1，2，3，4，5都是集合A的元素.10分（2）2005是集合A的元素.因为1+35=16A，故8A，进而1+48=33A，1+333=100A，1+5100=501A，1+4501=2005A.15分注：其实，可以证明：A=N.由（1）知，1，2，3，4，5都是集合A的元素，假设1，2，nA(n5)，下证n+1A.如果n+1=2k+1为奇数，那么，于是n+1=1+2kA;如果n+1=2k是偶数，那么，于是n=2k-1A，1+2kA，所以1+(2k-1)(2k+1)=4k2A，从而2kA,即n+1A.综上所述，我们证明了A=N.
