1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1.了解空间两条直线位置关系的分类标准.2.理解异面直线的定义,会画两条异面直线.3.掌握公理4和定理,并会应用.4.会通过转化将空间角转化为平面角,并会求解.1.空间直线的位置关系(1)异面直线：不同在_平面内的两条直线.(2)空间直线的三种位置关系：位置关系共面情况公共点个数相交在同一平面内_平行在同一平面内_异面不同在任何一个平面内_任何一个有且只有一个零个零个2.公理4及定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_.符号表示：ab,bc_.(2)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角_.平行ac相等或互补3.异面直线所成的
2、角(1)定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O作直线aa,bb,则异面直线a与b所成的角就是直线a与b所成的_.(2)范围：_.特别地,当=_时,a与b互相垂直,记作_.锐角(或直角)09090ab1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“”,错误的打“”).(1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线.()(2)两条直线垂直,则一定相交.()(3)平行于同一条直线的两条直线一定平行.()(4)两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行.()提示：(1)错误.分别在两个平面内的直线有可能存在第三个平面同时经过这两条直线,这时这两条直线是共面的.(2)错误.当两条异面直线所成角为90时
3、,两条直线异面垂直,但它们不相交.(3)正确.根据公理4知,该结论正确.(4)错误.这两条直线还可能相交或异面.答案：(1)(2)(3)(4)2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)若空间两条直线没有公共点,则这两条直线的位置关系为.(2)如图,正方体ABCD-ABCD中异面直线AB与BC所成的角为.异面直线AD与BC所成的角为.(3)如图,正方体ABCD-ABCD中,判断下列直线的位置关系：直线AB与直线DC的位置关系是;直线AB与直线BC的位置关系是.【解析】(1)根据空间两条直线的位置关系知,两条直线没有公共点,则两条直线平行或异面.答案：平行或异面(2)因为A
4、BAB,所以ABC为异面直线AB与BC所成的角,又ABBC,所以异面直线AB与BC所成的角为90.因为ADBC,所以DAD为AD与BC所成的角,因为四边形ADDA为正方形,所以DAD=45.答案：9045(3)因为直线AD与BC平行且相等,所以四边形ADCB为平行四边形,所以直线AB与直线DC平行.点A,B,B在平面ABBA内,而点C不在平面ABBA内,所以直线AB与直线BC异面.答案：平行 异面一、空间两条直线的位置关系探究1：观察图形,思考下面的问题：(1)同一平面内的两条直线有几种位置关系?提示：同一平面内的两条直线的位置关系有平行、相交.如题图中a与c平行,a与l相交.(2)空间中没有
5、公共点的直线一定平行吗?没有公共点的两条直线一定在同一平面内吗?提示：从题图可知,没有公共点的两条直线不一定平行,如直线a与直线b;没有公共点的直线也不一定在同一平面内.(3)从两条直线有没有公共点的角度分析,空间两条直线都有哪些位置关系?提示：有一个公共点：相交直线;没有公共点：平行直线，异面直线.探究2：异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内”呢?提示：不可以,因为不在这个平面内,有可能在另一个平面内,“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面,使两异面直线在该平面内”.【探究提升】空间两条直线的位置关系(1)空间直线的位置关系有且只有三种：相交关系同一平
6、面内，有且只有一个公共点；平行直线同一平面内，没有公共点；异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.(2)从两条直线是否共面角度看，可分为两类：在同一平面内不同在任一平面内异面直线.平行直线，相交直线；二、异面直线所成的角探究1：探究以下问题，认识异面直线所成的角.(1)已知直线a,b是两条异面直线，如何作出这两条异面直线所成的角？提示：如图，在空间中任取一点O，作直线aa,bb，则两条相交直线a,b所成的角即两条异面直线a,b所成的角.(2)a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？提示：a与b所成角的大小只由a,b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为
7、了简便，点O选取在两条直线的其中一条直线上.探究2：如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？提示：垂直，根据异面直线所成角的定义可知，结论成立.【探究提升】求两异面直线所成的角需注意的问题(1)两条异面直线a与b所成的角的大小与点O的选取无关,为了方便,点O常取在两条异面直线中的一条之上,特别地,可以取其中一条直线与过另一条直线的平面的交点处,或表示直线的线段的端点或中点.(2)将异面直线所成的角转化为平面上相交直线所成的角,可以借助于平面几何的知识进行求解,实现了空间问题的平面化.(3)异面直线所成角的范围是090,若求得的角在这个范围内,则所求的角即为异
8、面直线所成的角.若求得的角大于90且小于180,则其补角为异面直线所成的角.【拓展延伸】定理的几种形式(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等.(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相反,那么这两个角相等.(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且其中一组方向相同,另一组方向相反,那么这两个角互补.类型 一空间直线间位置关系的判定尝试解答下面的问题,并归纳判断两条直线异面的方法.1.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有对.2.如图所示,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点
9、或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有.【解题指南】1.将正方体的展开图还原为正方体,根据平面图形中各点在空间图形中的位置关系判断.2.只需判断GH与MN是否平行或相交,若两直线既不平行也不相交,则两直线异面.【解析】1.将平面图形还原为立体图形为根据图形可知,四条线段中有3对异面直线,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.答案：32.中直线GH与MN平行,中GMHN,且GMHN,所以GH与MN必相交.中GH,MN是异面直线.答案：【技法点拨】异面直线的两种判定方法(1)定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内.(2)定理法：过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过
10、该点的直线为异面直线.【变式训练】分别与两条异面直线平行的两条直线的位置关系是.【解析】画出图形,得结论,如图(1),分别与异面直线a,b平行的两条直线c,d,其中c与d是相交关系;如图(2),分别与异面直线a,b平行的两条直线c,d,其中c与d是异面关系.答案：相交或异面类型 二公理4及定理的应用试着解答下面的问题,总结证明直线平行的方法以及证明两角相等的方法.1.空间中有一个角A的两边和另一个角B的两边分别平行,A=70,则B=.2.如图,正方体ABCD-ABCD中,E,F,E,F分别是棱AB,AD,BC,CD的中点.求证：四边形EFFE为平行四边形.【解题指南】1.考虑定理,即可求出B的
11、大小.2.利用公理4,证明两直线平行于同一直线,再说明两对边相等.【解析】1.因为A的两边和B的两边分别平行,所以A=B或A+B=180.又A=70,所以B=70或110.答案：70或1102.连接BD,BD,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EFBD,同理EFBD,在正方体ABCD-ABCD中,四边形BBDD为平行四边形,所以BDBD,所以EFEF,故四边形EFFE为平行四边形.【互动探究】题2条件不变,求证EAF=ECF.【解题指南】利用定理证明角的两边对应平行,同时注意方向问题.【证明】取AB的中点M,连接FM,BM,则MF BC BC,所以四边形BMFC为平行四边形,所以BMCF,
12、又四边形BMAE为平行四边形,所以BMAE,所以AECF.同理AFCE.因为EAF与ECF的两边分别对应平行,且方向相反,所以EAF=ECF.【技法点拨】1.证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点.(2)利用公理4：寻找第三条直线,然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行,根据公理4,显然这两条直线平行.若题设条件中含有中点,则常利用三角形的中位线性质证明直线平行.2.证明角相等的两种方法(1)利用定理.(2)利用三角形全等或相似.类型 三异面直线所成的角 通过解答下面的问题,掌握求异面直线所成角的一般步骤.1.正方体ABCD-ABCD中,E,F
13、分别为平面ABCD与AADD的中心,则EF与CD所成角的度数是.2.在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC=，且ADBC，求AC和BD所成的角.【解题指南】1.连接BD，AB，则ABEF，将异面直线EF与CD所成角转化为AB与AB所成的角.2.取AB,CD,AD，AC的中点E,G,F，H连接EF,FG，EG，EH，HG.将AC和BD所成的角转化为EF与FG的夹角，然后通过解三角形，求出EF与FG的夹角即为AC和BD所成的角.【解析】1.连接BD，则E为BD的中点，连接AB，则EFAB,又CDAB，所以BAB为异面直线EF与CD所成角，即BAB=45.答案：452.如图，取AB，CD，AD，
14、AC的中点E，G，F，H，连接EF，FG，GE，EH，HG，则EFG(或其补角)为BD与AC所成的角，且EHBC，HGAD，因为ADBC，所以EHHG，所以EG2=EH2+HG2=(BC)2+(AD)2=()2+12=1，在EFG中，EG2=EF2+FG2=1，所以EFG=90，所以AC和BD所成的角为90.【技法点拨】求两条异面直线所成的角的一般步骤提醒：根据异面直线所成角的定义作出的角，有时不一定是异面直线所成的角，可能是所求角的补角.【变式训练】如图，等腰直角三角形ABC中，A=90，DAAC，DAAB.若DA=1,且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.【解题指南】根据异
15、面直线所成的角的定义，需要平移转化为两条相交直线所成的角.平移时适当地选择点，平移BE或CD，因为题目中给出了中点，可以考虑借助中位线进行平移.【解析】如图，取AC的中点F，连接EF，BF，则EF CD,所以BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角或补角.已知等腰直角三角形ABC，A=90，BC=，所以AB=1.在RtEAB中，AB=1，AE=AD=，所以在RtFAB中，AB=1，AF=，所以在RtDAC中，AC=1,AD=1，DC=，所以在等腰三角形EBF中，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.1.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A.异面B.相交C.平行D.异面或相交
16、【解析】选D.a，b为异面直线，c，d分别与a，b都相交.图(1)中c，d异面，图(2)中c，d相交.2.已知角和角的两边分别平行且一组边方向相同,另一组边的方向相反,若=45,则=.【解析】由等角定理,两角两组对边分别平行,一组方向相同,另一组方向相反,则两角互补,所以=135.答案：1353.AB,CD是两条异面直线,则直线AC,BD的位置关系一定是(选填“平行”“相交”或“异面”).【解析】若AC,BD相交或平行,则AC,BD共面,可以推出AB,CD共面,与已知AB,CD异面矛盾.答案：异面4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC与B1C1所成的角等于.【解析】因
17、为B1C1BC,所以ACB即为异面直线AC与B1C1所成的角.又因为四边形ABCD是正方形,所以ACB=45.答案：455.正方体ABCD-ABCD中与棱AA平行的棱有条.【解析】由正方体ABCD-ABCD知AABBCCDD,故与AA平行的直线有3条.答案：36.已知空间四边形ABCD中,ABAC,BD=DC,AE是ABC的边BC上的高,DF是BCD的边BC上的中线,求证：AE与DF是异面直线.【证明】由已知,ABAC且AE是ABC的边BC上的高,所以点E不是BC的中点,又BD=DC,F为BC边的中点,所以E,F不重合,又DF平面BCD,E平面BCD,且EDF,A平面BCD,所以AE与DF是异面直线.
