1、第二章 推理与证明章末小结 新人教A版选修1-2 合情推理与演绎推理运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最后用演绎推理的方法进行验证观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.，n2，S24；n3，S38；n4，S412；，按此规律，推出Sn与n的关系式为_解析：依图的构造规律可以看出：S2244，S3344，S4444(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)猜想：Sn4n4(n2，nN*)答案：Sn4n4(n2，nN*
2、)若数列an是等比数列，且an0，则有数列bn(nN*)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列cn是等差数列，则有dn_也是等差数列解析：类比猜想可得dn也成等差数列，若设等差数列cn的公差为x，则dnc1(n1).可见dn是一个以c1为首项，为公差的等差数列，故猜想是正确的答案：已知函数f(x)，g(x).(1)证明f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间；(2)分别计算f(4)5f(2)g(2)和f(9)5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明(1)证明：函数f(x)的定义域(，0)(0，)关于原点对称，又f(x)f
3、(x)，f(x)是奇函数任取x1，x2(0，)，设x1x2，f(x1)f(x2)(x1x2).x1x20，f(x1)f(x2)0，b0，ab1，求证：8.证明：证法一(综合法)a0，b0，ab1，1ab2，ab，4.又(ab)24，8.证法二(分析法)a0，b0，ab1，要证8，只需证8，即证8，即证4，即证4，即证2.由基本不等式可知，当a0，b0时，2成立，原不等式成立如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.EFAG，且EF1，AGAC1，四边形AGEF为平
4、行四边形AFEG.EG平面BDE，AF平面BDE，AF平面BDE.(2)连接FG，EFCG，EFCG1，且CE1，四边形CEFG为菱形，CFEG.四边形ABCD为正方形，BDAC.又平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，BD平面ACEF，CFBD.又BDEGG.CF平面BDE.变式训练2在等差数列an中，首项a11，数列bn满足bn，且b1b2b3.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：a1b1a2b2anbn2.(1)解析：设等差数列an的公差为d，因为a11，bn，所以b1，b2，b3.由b1b2b3，解得d1，所以an1(n1)1n.(2)证明：由(1)得bn.设T
5、na1b1a2b2anbn123n，则Tn123nn1.得Tnn.所以Tn22n2，又因为22，所以a1b1a2b2anbn2.本题考查了等差数列的性质以及利用综合法证题的过程反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑的角度看，命题：“若p则q”的否定是“若p则q”由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p则q”为假，从而可以导出“若p则q”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要。求证：两条相交直线有且只有一个交点证明：假设结论不成立，即有两种可能
6、：无交点；不只有一个交点(1)若直线a、b无交点，那么ab或a与b异面，与已知矛盾；(2)若直线a、b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A、B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点结论本身是否定形式或关于唯一性的命题、存在性的命题时，常用反证法已知0x0或f(x0)x01，由于f(x)在1，)上为增函数，则f(f(x0)f(x0)又f(f(x0)x0，x0f(x0)，与假设矛盾若x0f(x0)1，则f(x0)f(f(x0)又f(f(x0)x0，f(x0)x0，也与假设矛盾综上所述，当x01，f(x0)1且f(f(x0)x0
7、时有f(x0)x0.(1)对于f(f(x0)的性质知之甚少，直接证明有困难，因而用反证法来证明，增加了反设这一条件，为我们利用函数的单调性创造了可能(2)反设中有两种情况，必须逐一否定变式训练3等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an及前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解析：(1)设公差为d，由d2.an2n1，Snn(n)(2)由(1)得bnn.假设bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，pr.(pr)20，pr与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列
