1、广东省东莞四中2019-2020学年高一数学下学期6月段考试题(含解析)一单选题1. 下列函数中,周期为的奇函数是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过判断四个函数的周期性、奇偶性,可选出答案.【详解】函数的周期为,不符合题意;函数是偶函数,不符合题意;函数的周期为,不符合题意;是周期为的奇函数,符合题意.故选:D.【点睛】本题考查三角函数的周期性与奇偶性,属于基础题.2. 圆心为,且与x轴相切的圆的标准方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于圆心为,圆与x轴相切,所以可得圆的半径为2,从而可得圆的标准方程.【详解】解:因为圆心为,圆与x轴相切,
2、所以圆的半径为2,所以圆的标准方程为,故选:B【点睛】此题考查由圆心和半径写圆的标准方程,属于基础题.3. ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用两角和差正弦公式化简求得结果.【详解】.故选:.【点睛】本题考查利用两角和差正弦公式求值的问题,属于基础题.4. 已知向量,不共线,设,若,则实数k的值为( )A. B. -1C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由,可知存在实数,使得,进而列出式子,可求出实数k的值.【详解】由题意,可知,因为,所以存在实数,使得,即,整理得,即.故选:A.【点睛】本题考查共线向量定理的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.5. 某高中学
3、校三个年级共有学生2800名,需要用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本,已知高一年级有学生910名,高二年级抽出的样本人数占样本总数的,则抽出的样本中有高三年级学生人数为( )A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得出结论.【详解】解:高二年级人数为人,则高三人数人,则高三抽取的人数为人.故选:B.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用,属于基础题.6. 有五条线段长度分别为,从这5条线段中任取3条,则所取3条线段能构成一三角形的概率A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】从五条线段中任取三条共有种可能,其中能构成三角形的
4、有,三种可能,故所取三条线段能构成一个三角形的概率为,故选B由题意知本题是一个古典概型.7. 若则的值为( )A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】B【解析】【分析】化简可知,利用同角三角函数的基本关系式,求得,即可得出结果.【详解】又, 故选:B.【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.8. 在中,P是AB上的一点,若,且,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由平面向量加减法法则对化简,再与对比可求出的值.【详解】解:由,得,所以,所以,所以,故选:A【点睛】此题考查平面向量加减法法则,属于基础题.
5、9. 已知函数在区间上单调递减,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】时,可知,从而可列出式子,求出的取值范围.【详解】由题意,时,因为函数在区间上单调递减,所以,则,解得,所以,解得,因为,所以,.故选:D.【点睛】本题考查正弦函数单调性的应用,考查学生的计算求解能力,属于中档题.10. 已知圆,圆,分别为圆上的点,为轴上的动点,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A,以及半径,然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和,即可求得的最小值,得到答案【详解】如图所示,圆关于轴的对称圆的圆心坐标,半径为
6、1,圆的圆心坐标为,,半径为3,由图象可知,当三点共线时,取得最小值,且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和,即,故选D 【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解,以及两个圆的位置关系的应用,其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键,着重考查了数形结合法,以及推理与运算能力,属于基础题二多选题11. 下列命题中,结论正确的有( )A. B. 若,则C 若,则ABCD四点共线;D. 在四边形中,若,则四边形为菱形.【答案】BD【解析】【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得;【详解】解:对于A,故A错误;对于B,若,则,所以,故,即B正确;对于C,则或与共线,
7、故C错误;对于D,在四边形中,若,即,所以四边形是平行四边形,又,所以,所以四边形是菱形,故D正确;故选:BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用,属于基础题.12. 已知函数,下列结论正确的有( )A. 函数是奇函数;B. 函数是周期函数,且周期为2;C. 函数的最小值为-2;D. 函数的图象关于直线对称.【答案】BCD【解析】【分析】根据三角函数的性质对选项逐一判断即可.【详解】解:对于,因为,所以不是奇函数,故选项错误;对于,故是周期函数,2为的一个周期,故选项正确;对于,故,故选项正确;对于,因为所以,所以函数的图象关于直线对称.故选项正确.故选:BCD.【点睛】本题主要考
8、查三角函数的周期、最值、对称轴、奇偶性,属于中档题.三填空题13. 已知,若,则实数_【答案】1【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】即故答案为:【点睛】本题主要考查了由向量垂直求参数,属于基础题.14. 空间两点,之间的距离为,则实数_.【答案】【解析】【分析】利用空间中两点间距离公式可直接构造方程求得结果.【详解】,解得:.故答案为:.【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用,属于基础题.15. _.【答案】【解析】【分析】直接根据两角和的正切公式计算可得;【详解】解:故答案为:【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用,属于基础题.16. 把函数的图象向右平移,再把所得图
9、象上各点的横坐标缩短到原来的,则所得图象的函数解析式为_,其对称轴方程为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据三角函数左右平移和伸缩变换原则可得到所求函数解析式;令,求得即为所求对称轴方程.【详解】将向右平移得:,将横坐标缩短到原来的,得到所求函数解析式为;令,解得:,所求对称轴方程为.故答案为:;.【点睛】本题考查三角函数的平移和伸缩变换、正弦型函数对称轴方程的求解问题;求解正弦型函数对称轴的常用方法是整体对应的方式,结合正弦函数的性质来进行求解.四解答题17. 已知x是第四象限角,且.(1)求,的值;(2)求的值.【答案】(1),;(2)【解析】【分析】(1)由,并结合,可
10、求出和,再根据x是第四象限角,可求出,的值;(2)结合三角函数诱导公式,对原式进行化简,可求出答案.【详解】(1)由,得,又,解得,又x是第四象限角,;(2),原式.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、三角函数诱导公式的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.18. 已知单位向量,且,求:(1)向量,的夹角;(2);(3)若向量与向量垂直,求实数k的值.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)给两边平方化简,求出,然后利用向量的夹角公式求解即可;(2)给平方化简,再开方可得结果;(3)由向量与向量垂直,得,化简后可求出k的值.【详解】解:(1)设向量的夹角为;由已知得,;.
11、(2);(3)向量与向量垂直,.,解得.【点睛】此题考查向量的夹角、向量的模、两向量垂直的关系等知识,考查了计算能力,属于基础题.19. 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,所得数据如下表所示:x681012y2356(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;(2)试根据最小二乘法原理,求出y关于x的线性回归方程,并在给定的坐标系中画出回归直线;(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测记忆力为9的学生的判断力.参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式:,.【答案】(1)见解析;(2)线性回归方程:,图形见解析;(3)【解析】【分析】(1)根据表中数据可画出散点图;(2
12、)根据表中数据,分别求出,代入公式中,可求出,再由,可求出,从而可得到线性回归方程;(3)根据回归方程,将代入,可求出答案.【详解】(1)散点图如下图所示:(2),故线性回归方程为,图形见上图.(3)由题意,该同学的记忆力为9,则预测他的判断力为:,预测这位同学的判断力大约为4.【点睛】本题考查散点图,考查回归直线方程,考查利用回归方程对总体进行估计,考查学生的计算求解能力,属于中档题.20. 某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段,然后画出如下部分频率分布直方图.观察图形信息,回答下列问题:(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)估
13、计这次考试的及格率(60分及60分以上为及格)和平均分;(3)把从分数段选取的最高分的两人组成B组,分数段的学生组成C组,现从B,C两组中选两人参加科普知识竞赛,求这两个学生都来自C组的概率.【答案】(1)0.3;(2)71;(3)【解析】【详解】试题分析:(1)频率分布直方图中每个小长方形的面积等于该组的频率,且各组的频率之和等于1,所以设第四组频率为x,(0.01+0.0152+0.025+0.005)10+x=1,解得:x=0.3.所以第四组频率为0.3.于是可以补全频率分布直方图;(2)60分及60分以上为及格,所以为频率分布直方图中的后四组,即第三、四、五、六组,这四组频率和为0.1
14、5+0.3+0.25+0.05=0.75,所以及格率为75%,平均分为各组数据的中点值乘以该组的频率之和,即平均分为450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+950.05=71;(3)本问考查古典概型,设B组两人为、,分数段的学生人数为:人,即C组只有3人,设这3人为、,则从B、C两组的5人中抽选2人去参加竞赛的基本事件有:(b1,b2)(b1,c1), (b1,c2), (b1,c3), (b2,c1), (b2,c2), (b2,c3),( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共10种.设选中的2人都来C组的事件为,则包含的基本事件有( c1,c2)
15、, ( c1,c3), ( c2,c3)共3种.因此. 故选中的2人都来自C组的概率为.试题解析:(1)设第四组的频率为x,则根据频率分布直方图可有:,解得:x=0.3.所以第四组频率为0.3.频率分布直方图如下:(2)60分及60分以上为第三、四、五、六组,频率和为0.15+0.3+0.25+0.05=0.75所以及格率为75%平均分为:450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+950.05=71(3)分数段的学生人数为:人,即C组只有3人;把从B组抽取的2人记为、;组的3人记为、,则从B、C两组的5人中抽选2人去参加竞赛的基本事件有:(b1,b2)(b1,c1),
16、(b1,c2), (b1,c3), (b2,c1), (b2,c2), (b2,c3),( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共10种.设选中的2人都来C组的事件为,则包含的基本事件有( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共3种.因此. 故选中的2人都来自C组的概率为.考点:1.频率分布直方图;2.古典概型21. 已知函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)首先由辅助角公式可得,再根据余弦函数的性质计算可得;(2)由可得,再根据同角三角函数的基本关系可得,而根据两角和的余弦公式计算可得;【详解】解:(
17、1),令,解得,函数的单调递增区间为.(2),又,.【点睛】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用,属于中档题.22. 已知点P(2,2),圆,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求点M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.【答案】(1) ;(2)直线的方程为,的面积为.【解析】【分析】求得圆的圆心和半径.(1)当三点均不重合时,根据圆的几何性质可知,是定点,所以的轨迹是以为直径的圆(除两点),根据圆的圆心和半径求得的轨迹方程.当三点有重合的情形时,的坐标满足上述求得的的轨迹方程.综上可得的轨迹方程.(2)根据圆的几何
18、性质(垂径定理),求得直线的斜率,进而求得直线的方程.根据等腰三角形的几何性质求得的面积.【详解】圆,故圆心为,半径为.(1)当C,M,P三点均不重合时,CMP=90,所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P,C),线段中点为,故的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2(x2,且y2或x0,且y4).当C,M,P三点中有重合的情形时,易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4).综上可知,点M的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以的斜率为,故的方程为,即.又易得|OM|=|OP|=,点O到的距离为,所以POM的面积为.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法,考查圆的几何性质,考查等腰三角形面积的计算,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力,属于中档题.