1、数列求和中的放缩技巧数列求和的本质是将多项式的和式化简,其最基本的方法是利用等差等比求和公式化简,此外常见的求和方法还有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等.而高考中,数列解答题更多地表现为数列求和的“不等式”形式,必然要用到各种放缩的技巧.而数列求和放缩的本质是将不规则、无法直接求和的数列通过放缩变成可以求和的数列.其中常见的是放缩形式为“类等差”“类等比”、“裂项同构”等,此外“求和转通项”“数学归纳法”也是解决数列与不等式综合性问题的一个重要方向.下面我们就高考模拟题中的一些创新题型,追根溯源总结方法策略.模型一、类等比放缩对于通项里含有指数的代数式,可以优先考虑放缩为等比数
2、列求和.对于求证类似),我们采用等比放缩时通常有两个方向.(1)通项放缩.将放缩到,其中数列是一个等比数列(通常,公比),则,通常就是,若精度要求更高,需要从第二项,乃至第三项等开始放缩.(2)公比放缩.当放缩时若容易找到等比数列的通项,我们亦可以对进行放缩,即研究,故例1.设,证明.解法一：(通项放缩)由,得.解法二:(公比放缩)记,显然为单调递减数列,故,即恒成立.又,得而,故得证.模型二、类等差放缩类等差型数列是指数列从第二项起满足(或).显然对应地可以得到(或(或.例2已知正项数列满足为数列的前项和,求证:对于任意正整数,都有.解析:,故.又,得,所以,即.模型三、裂项求和放缩裂项相消
3、求和是高考数列考题中较为常规与热门的技巧之一,其本质是构造相邻“同构式”的作差形式,通过反复“累加”以达到化简的目的.例3已知数列中,其前项和满足.令.(1)求数列的通项公式;(2)若,求证:.解析:,即,所以.检验知,当时,结论也成立.故.裂项相消求和是高考数列考题中较为常规与热门的技巧之一,其本质是构造相邻“同构式”的作差形式,通过反复“累加”以达到化简的目的.在证明数列大题时,我们可以应用同向不等式的可加性达到证明的目的,即要证,只需证.应用此方法可以回避许多数列无法直接求和,或者通过放缩“精度”不好控制的问题.该方法形式上是通过分析法,执果索因,逆向逐步推导原命题的充分条件,逻辑上连贯
4、自然.当然,由于,并不一定是的必要条件,所以由“末知”推向的“已知”末必一定是正确的.例4已知等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列.(1)求的通项公式;（2）设正项数列满足,求证.解析:(1)令(为常数),则.由,解得,所以.(2)原题即证.记,即证.由(1)知,故,所以只需证,即证.,故原命题得证.数列不等式的证明历来是高考数学命题的热点与重点.对“逻辑推理”与“数学运算”等核心素养的要求颇高.而不少同学面对抽象的数列不等式,不能识别其规律模型,没有思考的方向,因此只能机械地套用“数学归纳法”.那么,除了强化“数学归纳法”,以上四类模型提供的创新性方法与策略可以邦助同学们辨识模型、开阔思维、突破瓶颈,从而洞察题目的本质
