1、20202021学年度高三年级第一学期期末考试数 学 试 题 参 考 答 案 及 评 分 标 准一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ACBDBACD二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.题号9101112答案ABBCDBDABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13 14415 16 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(本小题满分10分
2、)【解】选因为ABC面积为2,所以,即,解得在ABC中,据余弦定理得,所以,故,且 5分因为AC是的平分线,所以,在ACD中,据余弦定理可得,即,解得所以 10分选因为AC平分,设,在RtADC中,所以,在ABC中,据正弦定理 ,得, 5分整理得,即,得所以在RtADC中,即,所以 10分18(本小题满分12分)【解】(1)依题意,当时,故,所以,当,时,所以当,时, 所以对都成立,因为,所以,所以为定值,所以数列是,公比为2的等比数列,所以 5分 (2)依题意, ,所以,整理得 9分因为,故数列是单调递增数列,又,故不存在正整数n,使得 12分19(本小题满分12分)(1)证明:因为,故在A
3、ND中,据余弦定理可得,故,所以,所以ACAD又PA面ABCD,AC面ABCD,所以ACPA因为PAADA,PA,AD面PAD,所以AC面PAD 6分(2)解:以A为坐标原点,以AC,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz在BAD中,据余弦定理可得,故,所以,所以,因为M是PD的中点,故设是平面PAB的法向量,则即所以取,得,所以平面PAB的一个法向量为同理,平面MAC的一个法向量为所以设平面PAB与平面MAC所成的二面角为,故,因为,所以,所以平面PAB与平面MAC所形成的二面角得正弦值为 12分20(本小题满分12分)【解】(1)表格如下:日行步数8千
4、步日行步数8千步总计40岁以上406010040岁以下(含40岁)5050100总计90110200则,因为,所以没有95%的把握认为日行步数与居民年龄是否超过40岁有关 5分(2)依题意,该地区1位居民日行步数超过8千步的概率为设调查的20位居民中日行步数超过8千步的人数为X则,k0,1,2,20令 ,即简化得 解得,又,故k11所以这20位居民中的日行步数超过8千步的最有可能的是11位居民 12分21(本小题满分12分)【解】(1)因为椭圆C经过点A(2,1),所以,即 又直线与椭圆C相切,联立方程组整理得,据,得,即 联立,可解得,所以椭圆C的方程为 5分(2)依题意,直线l经过B(3,0),且不与x轴重合,设l的方程为,设,联立方程组整理得,故 即其中或又直线AM:,令,得同理,故 12分22(本小题满分12分)【解】(1)依题意,对恒成立,即对恒成立令,而,故在上是单调增函数,故,从而,所以在上是单调增函数,所以,当时,所以 3分(2)依题意,, 要证:,即证:,只需证:,即证:令,所以在上是单调增函数,故,即,所以当时, 6分 由可知,当时, ,因为,故,所以,要证:,只需证:,即证:,即证:,令,只需证:,即证:,即证:,即证:因为,故据(1)可得,当时,对恒成立,即当时,所以对恒成立所以因为,故,所以 12分