1、试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科） 2012.3本试卷共4页，21小题， 满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要
2、求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高 方差，其中.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数（其中，是虚数单位），则的值为A B C0 D22已知全集，函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，则集合A B C D3如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为A3 B6 C12 D244已知点（）是圆：内一点，直线的方程为，那么直
3、线与圆的位置关系是A相离 B相切 C相交D不确定5已知函数，对于任意正数，是成立的A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角若， ，则的值为A B C8 D67在中，在上任取一点，使为钝角三角形的概率为A B C D8从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标，若是3的倍数，则满足条件的点的个数为A252 B216 C72 D42图1俯视图22正(主)视图222侧(左)视图222二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）
4、9如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 10已知，则实数的取值范围为 11已知幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 12已知集合，若，则实数的取值范围为 13两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，若按此规律继续下去，则 ，若，则 图2512122POABCD图3（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14（几何证明选讲选做题）如图
5、3，圆的半径为，点是弦的中点，弦过点，且，则的长为 15（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线与曲线的参数方程分别为：（为参数）和：（为参数），若与相交于、两点，则 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（1）求的值；（2）设，若，求的值17（本小题满分12分）图4甲组乙组897a357966如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同（1）求的值；（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分
6、别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和均值（数学期望）（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明）18（本小题满分14分）图5如图5所示，在三棱锥中，平面平面，于点， ，（1）证明为直角三角形；（2）求直线与平面所成角的正弦值19（本小题满分14分）等比数列的各项均为正数，成等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和20（本小题满分14分）已知椭圆的左，右两个顶点分别为、曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，
7、证明：；21（本小题满分14分）设函数(为自然对数的底数)，（）（1）证明：；（2）当时，比较与的大小，并说明理由；（3）证明：（）2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错
8、误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案DBCABDCA二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题第13题仅填对1个，则给3分9 10 113 12 1335，10 14 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦
9、等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：1分 3分4分（2）解：因为5分6分7分所以，即 因为， 由、解得9分因为，所以，10分所以 11分12分17（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：依题意，得，1分解得.2分（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为.3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为.5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有种可能的结果6分甲乙X这两名同学成绩之差的绝对值的所有情况如下表：
10、87899696870299936433936433958611所以的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.8分由表可得，.所以随机变量的分布列为：012346810分9随机变量的数学期望为11分.12分18（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面1分记边上的中点为，在中，所以因为，所以3分因为，所以为直角三角形因为，所以4分连接，在中，因为，所以5分因为平面，平面，所以在中，因为，所以6分在中
11、，因为，所以所以为直角三角形7分证明2：因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面1分记边上的中点为，在中，因为，所以 因为，所以3分连接，在中，因为，所以4分在中，因为，所以，所以5分因为平面，平面，所以6分因为，所以平面 因为平面，所以所以为直角三角形7分（2）解法1：过点作平面的垂线，垂足为，连，则为直线与平面所成的角8分由（1）知，的面积9分因为，所以10分由（1）知为直角三角形，所以的面积11分因为三棱锥与三棱锥的体积相等，即，即，所以12分在中，因为，所以13分因为所以直线与平面所成角的正弦值为14分解法2：过点作，设，则与平面所成的角等于与平面所成的角8分由（1）知，且，所以平面因
12、为平面，所以平面平面过点作于点，连接，则平面所以为直线与平面所成的角10分在中，因为，所以11分因为，所以，即，所以12分由（1）知，且，所以13分因为，所以直线与平面所成角的正弦值为14分解法3：延长至点，使得，连接、，8分在中，所以，即在中，因为，所以，所以因为，所以平面9分过点作于点，因为平面，所以因为，所以平面所以为直线与平面所成的角11分由（1）知，所以在中，点、分别为边、的中点，所以12分在中，所以，即13分因为所以直线与平面所成角的正弦值为14分解法4：以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，8分 则，于是，设平面的法向量为，则即取，则，所以平面的一个
13、法向量为12分设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为14分 若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，1分 则，于是，因为，所以所以所以为直角三角形7分（2）由（1）可得，于是，设平面的法向量为，则即取，则，所以平面的一个法向量为12分设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为14分19（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列的公比为，依题意，有即2分所以3分由于，解
14、之得或5分又，所以，6分所以数列的通项公式为（）7分（2）解：由（1），得8分所以10分所以故数列的前项和14分20（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得，1分设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，即所以双曲线的方程为3分（2）证法1：设点、（，），直线的斜率为（），则直线的方程为，4分联立方程组5分整理，得，解得或所以6分同理可得，7分所以8分证法2：设点、（，），则，4分因为，所以，即5分因为点和点分别在双曲线和椭圆上，
15、所以，即，6分所以，即7分所以8分证法3：设点，直线的方程为，4分联立方程组5分整理，得，解得或6分将代入，得，即所以8分（3）解：设点、（，），则，因为，所以，即9分因为点在双曲线上，则，所以，即因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以10分因为， 所以11分由（2）知，即设，则，设，则，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减 因为，所以当，即时，12分当，即时，13分所以的取值范围为14分说明：由，得，给1分21（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）证明：设，所
16、以1分当时，当时，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，2分因为，所以对任意实数均有 即，所以3分（2）解：当时，4分用数学归纳法证明如下：当时，由（1）知假设当（）时，对任意均有，5分令，因为对任意的正实数， 由归纳假设知，6分即在上为增函数，亦即，因为，所以从而对任意，有即对任意，有这就是说，当时，对任意，也有由、知，当时，都有8分（3）证明1：先证对任意正整数，由（2）知，当时，对任意正整数，都有令，得所以9分再证对任意正整数，要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立即要证明对任意正整数，不等式（*）成立10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：方法1（数学归纳法）：当时，成立，所以不等式（*）成立假设当（）时，不等式（*）成立，即11分则因为，12分所以13分这说明当时，不等式（*）也成立由、知，对任意正整数，不等式（*）都成立综上可知，对任意正整数，不等式成立14分方法2（基本不等式法）：因为，11分，将以上个不等式相乘，得13分所以对任意正整数，不等式（*）都成立综上可知，对任意正整数，不等式成立14分
