1、第7课时直线方程的综合应用1.巩固直线方程的概念和两直线的位置关系.2.会用直线方程的性质及距离公式解决综合性问题.前面几节课,我们学习了直线的五种方程,两直线间的平行问题、垂直问题,相交的交点坐标,距离公式 ,还接触了对称问题,那么对这些内容有没有完全吸收理解呢?会不会解决它们的综合性问题呢?于是,我们在这里停一下脚步,回头巩固一下我们所学的重点知识,强化一下这些知识的综合性的应用.问题1:两条直线的位置关系(1)设直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1l2k1=k2且b1b2; l1l2k1 k2=-1.(2)若直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+
2、C2=0,则l1l2A1B2=A2B1且B1C2B2C1; l1l2A1A2+B1B2=0.问题2:距离公式(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离为|P1P2|=.(2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.(3)直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1C2),则d=.问题3:对称问题(1)常见的点关于直线的对称点坐标之间关系总结如下:A(a,b)关于x轴的对称点为A(a,-b);B(a,b)关于y轴的对称点为B(-a,b);C(a,b)关于直线y=x的对称点为C(b,a);D(a,b)关于直线y=-x的对称点为D(-b,-a);P
3、(a,b)关于直线x=m的对称点为P(2m-a,b);Q(a,b)关于直线y=n的对称点为Q(a,2n-b).(2)常见的直线关于直线的对称直线有:设直线l:Ax+By+C=0.l关于x轴对称的直线是Ax+B(-y)+C=0;l关于y轴对称的直线是A(-x)+By+C=0;l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0;l关于直线y=-x对称的直线是A(-y)+B(-x)+C=0.转化思想是解决对称问题的主要思想方法,其他问题如角的平分线、光线反射等也可转化成对称问题.问题4:直线系方程(1)过定点的直线系:(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0,过由方程组的解确定的定点.(2
4、)平行直线系:直线y=kx+b是与直线y=kx平行的直线系,其中b0;直线Ax+By+C=0是与直线Ax+By=0平行的直线系,其中C0.(3)垂直直线系:直线Bx-Ay+C=0是与直线Ax+By=0垂直的直线系.1.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足().A.m0B.m-C.m1D.m1,m-,m02.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线的条数为().A.3B.2C.1D.03.点A(-2,2)到直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m+3=0距离的最大值是.4.在ABC中,高线AD与BE的方程分别是x+5y-3=0和x+y-1=0,AB边所
5、在直线的方程是x+3y-1=0,试求点C的坐标.直线间的平行与垂直问题求过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且分别满足下列条件的直线方程.(1)与直线l:3x+4y-2=0平行.(2)到点P(0,4)的距离为2. 距离公式的应用点P(-2,-1)到直线l:(1+3)x+(1+)y-2-5=0的距离为d,求d的最大值.直线间的对称问题已知直线l:y=3x+3.求:(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标;(2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程;(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.已知直线(a-1)x-2y+4=0与x-ay-1=0.(1)若两直线平行,
6、则a=;(2)若两直线垂直,则a=.已知正方形的中心为直线x-y+1=0和2x+y+2=0的交点,正方形一边所在的直线方程为x+3y-2=0,求其他三边所在直线的方程.已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求:(1)点A关于直线l的对称点A的坐标;(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程.1.过点(2,1)和(a,2)的直线方程为().A.y-1=(x-2)B.x=2C.y-1=(x-2)或x=2D.y-1=(x-2)或y=22.直线x+2y-1=0关于直线x=2对称的直线方程是().A.x+2y-3=0B.x-2y-3=0C.2x-y+3=0D.2x-y-3
7、=03.直线l1:3x+4y-2=0关于直线6x+8y+4=0对称的直线方程为.4.一直线经过点P(3,2),并且和两条直线x-3y+10=0、2x-y-8=0都相交,且两个交点连线的中点为P,求这条直线的方程.(2011年安徽卷)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是(写出所有正确命题的编号).存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点.如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点.直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点.直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数.存在恰经过一个整点的直线.考题
8、变式(我来改编):第7课时直线方程的综合应用知识体系梳理问题1:(1)k1=k2且b1b2k1 k2=-1(2)A1B2=A2B1且B1C2B2C1A1A2+B1B2=0问题2:(1)(2)(3)问题3:(1)(a,-b)(-a,b)(b,a)(-b,-a)(2m-a,b)(a,2n-b)(2)Ax+B(-y)+C=0A(-x)+By+C=0Bx+Ay+C=0A(-y)+B(-x)+C=0问题4:(1)(2)b0Ax+By+C=0(3)Bx-Ay+C=0基础学习交流1.C2m2+m-3,m2-m不能同时为0,所以m1.2.B根据直线过点(1,3),当斜率存在时,可设其方程为y-3=k(x-1)
9、,即kx-y+3-k=0,又与原点的距离为1,则=1,解之得k=.当斜率不存在时,直线为x=1,显然与原点的距离为1,故满足条件的直线有2条.3.5直线l方程变形为(x-y-3)m+(x+2y+3)=0,则有解得即直线l恒过点B(1,-2),易求得=5,所以A到直线l距离小于等于5,当ABl时等号成立.4.解:联立AD方程和AB方程可求得点A坐标为(-2,1),设点C(a,b),因为ACBE,所以kACkBE=-1,得到a-b+3=0,同理可求得点B坐标为(1,0),kADkBC=-1,得到5a-b-5=0,解方程得所以点C 的坐标为(2,5).重点难点探究探究一:【解析】设经过直线l1和l2
10、的交点的直线方程为(2x+3y-8)+m(x-2y+3)=0,即(2+m)x+(3-2m)y+3m-8=0.(1)由题意得,4(2+m)=3(3-2m),解得m=,所求直线的方程为(2x+3y-8)+(x-2y+3)=0,即3x+4y-11=0.(2)由题意可得,=2,化简得5m2-8m-36=0,解得m=-2或m=,代入式得所求直线方程为y=2或4x-3y+2=0.【小结】常见的直线系方程有:(1)平行的直线系方程,与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+M=0(MC),或与y=kx+b平行的直线系方程为y=kx+n(nb);(2)垂直的直线系方程,与直线Ax+By+C=0垂直
11、的直线系方程为Bx-Ay+N=0;(3)经过两条直线交点的直线系方程,经过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1)+m(A2x+B2y+C2)=0(其中m为实数),方程不包括直线l2.探究二:【解析】直线l的方程可化为x+y-2+(3x+y-5)=0,由解得直线l过定点A(,).如图,d|PA|.当PAl时,d取最大值|PA|.|PA|=,d的最大值为.【小结】数形结合、运动变化的思想方法是数学中常用的思想方法,当图形中的元素运动变化时我们能直观看到一些量的变化情况,进而可求出这些量的变化范围.探究三:【解析】(1)设点P关
12、于直线l的对称点为P(x,y),则点P,P的中点M在直线l上,且直线PP垂直于直线l,即解得所以点P的坐标为(-2,7).(2)设直线l1:y=x-2关于l的对称直线为l2,则l1上的任一点P1(x1,y1)关于l的对称点为P2(x2,y2)一定在l2上,反之也成立,所以解得把(x1,y1)代入y=x-2中,整理得7x2+y2+22=0,所以直线y=x-2关于l的对称直线的方程为7x+y+22=0.(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l,由于ll,可设直线l为y=3x+b,且y=3x+3上的点(0,3)关于A(3,2)对称的点一定在直线l上,设该点的坐标为(x0,y0),则即代入y=3
13、x+b,解得b=-17,故l的方程为y=3x-17,即对称直线的方程为3x-y-17=0.【小结】点的对称问题是最基本的对称,是其他对称的基础.同时,关于对称问题还需注意以下几类特殊情况:(1)点P(x,y)关于x轴的对称点为P(x,-y);(2)点P(x,y)关于y轴的对称点为P(-x,y);(3)点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x,-y);(4)点P(x,y)关于直线y=x的对称点为P(y,x);(5)点P(x,y)关于直线y=-x的对称点为P(-y,-x).思维拓展应用应用一:-1或2(法一)当a=0或1时,两直线相交.当a0且a1时,直线(a-1)x-2y+4=0的斜率为k1=,
14、b1=2;直线x-ay-1=0的斜率为k2=,b2=-.(1)由k1=k2,且b1b2,即=且a-,解得a=-1或a=2,当a=-1或2时,两直线平行.(2)由k1k2=-1,即=-1,得a=.当a=时,两直线垂直.(法二)(1)由两直线平行得:(a-1)(-a)+21=0,即得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,又a=-1或a=2时两直线不重合.当a=-1或2时,两直线平行.(2)由a-1+2a=0,得a=,当a=时,两直线垂直.应用二:由得中心坐标为(-1,0),中心到已知边的距离为=.设正方形相邻两边方程为x+3y+m=0和3x-y+n=0.正方形中心到各边距离相等,=和=,m=4或
15、m=-2(舍),n=6或n=0.其他三边所在直线的方程为x+3y+4=0,3x-y=0,3x-y+6=0.应用三:(1)设A(x,y),由已知得解得A(-,).(2)在直线m上取一点如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上,设对称点为M(a,b),则解得M(,).设m与l的交点为N,由得N(4,3).又m经过点N(4,3),直线m的方程为9x-46y+102=0.基础智能检测1.C当a=2时,过点(2,1)和(a,2)的直线方程为x=2;当a2时,过点(2,1)和(a,2)的直线方程为y-1=(x-2).2.Bx+2y-1=0经过两点(-1,1),(1,0),这两点关于直线x=
16、2对称的点分别是(5,1),(3,0),由两点式可求得对称直线为x-2y-3=0.3.3x+4y+6=0直线3x+4y-2=0与6x+8y+4=0平行.设所求直线方程为3x+4y+b=0(b2).由题意得=,解得b=6.4.解:P是两个交点的中点,两个交点关于点P对称.设所求直线与直线x-3y+10=0的交点A的坐标为(x0,y0),则它与另一直线2x-y-8=0的交点B的坐标为(6-x0,4-y0).点B(6-x0,4-y0)在直线2x-y-8=0上,2(6-x0)-(4-y0)-8=0,即-2x0+y0=0,解方程组得故所求直线方程为=,即2x+y-8=0.全新视角拓展正确,比如直线y=x+,当x取整数时,y始终是一个无理数;错,直线y=x-中k与b都是无理数,但直线经过整点(1,0);正确,当直线经过两个整点时,它经过无数多个整点;错误,当k=0,b=时,直线y=不通过任何整点;正确,比如直线y=x-只经过一个整点(1,0).故答案为.思维导图构建斜率都相等截距不相等
