1、第3讲 运动图象 追及相遇问题 【秒判正误】(1)x-t图象如果是曲线，则物体做曲线运动。()(2)v-t图象如果是曲线，则物体做曲线运动。()(3)匀速直线运动的x-t图象是倾斜的直线。()(4)匀变速直线运动的v-t图象是倾斜的直线。()(5)两物体的v-t图象相交，交点表示两物体相遇。()(6)两物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐减小的。()(7)两物体在追及过程中，若前面物体停止运动时，后 面物体在它后面，则可确定两者未曾相遇。()考点1 运动图象的理解及应用【典题突破】题型1 x-t图象 典例1(多选)(2018全国卷)甲、乙两车在同一平 直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，
2、乙做匀速 直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所 示。下列说法正确的是()A.在t1时刻两车速度相等 B.从0到t1时间内，两车走过的路程相等 C.从t1到t2时间内，两车走过的路程相等 D.在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等【解题思维】1.题型特征：x-t图象。2.题型解码：(1)某点的切线斜率表示该点的速度。(2)纵坐标之差表示该段时间内的位移。【解析】选C、D。由位移时间图象的意义可知t1时刻两车在x1位置，图线的斜率不同，速度不等，A错；由于甲车起始位置不在原点，从0到t1时间内，两车走过的路程不等，B错；从t1到t2时间内，两车都从x1位置运动到x2位置，因此走过的路
3、程相等，C对；从t1到t2时间内甲车图线的斜率先小于后大于乙车，因此在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等，D对。【触类旁通】(多选)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置-时间(x-t)图线。由图可知()A.在时刻t1，a车追上b车 B.在时刻t2，a、b两车运动方向相反 C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增加 D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大【解析】选B、C。在时刻t1，a、b两车的位置坐标相同，开始a的位移大于b的位移，知b追上a，故A错误。在时刻t2，a的位移增大，b的位移减小，知两车运动方向相反，故B正确。图线切线的斜率表示速度
4、，在t1到t2这段时间内，b车图线斜率先减小后增大，则b车的速率先减小后增加，故C正确。在t1到t2这段时间内，b图线的斜率不是一直大于a图线的斜率，所以b车的速率不是一直比a车大，故D错误。题型2 v-t图象 典例2 甲乙两汽车在一平直公路 上同向行驶。在t=0到t=t1的时间 内，它们的v-t图象如图所示。在这段时间内()A.汽车甲的平均速度比乙大 B.汽车乙的平均速度等于 C.甲乙两汽车的位移相同 D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大 小逐渐增大 12vv2【解题思维】1.题型特征：v-t图象。2.题型解码：(1)图象与坐标轴所夹的面积表示物体的位移，根据位移可以推导物体运动
5、的平均速度。(2)某点切线的斜率表示该点的加速度。【解析】选A。因为图象与坐标轴所夹的面积表示物体 的位移，因此在0t1时间内，甲车的位移大于乙车的 位移，根据 可知，甲车的平均速度大于乙车的 平均速度，选项A正确，C错误；因为乙车做非匀变速 运动，故不能用 计算平均速度，选项B错误；图 线切线的斜率表示物体运动的加速度，据图知，甲乙 两车的加速度大小均逐渐减小，选项D错误。xvt12vv2【触类旁通】一质点沿x轴做直线运动，其v-t图象如图所示。质点在t=0时位于x=5 m处，开始沿x轴正向运动。当t=8 s时，质点在x轴上的位置为()A.x=3 m B.x=8 m C.x=9 m D.x=
6、14 m【解析】选B。图象的“面积”大小等于位移大小，图 象在时间轴上方“面积”表示的位移为正，图象在时间 轴下方“面积”表示的位移为负，故8 s时位移为：=3m，由于质点在t=0时位于x=5 m处，故当t=8 s时，质点在x轴上的位置为8 m，故A、C、D错误，B正确。224124s m m22题型3 其他运动图象 典例3 以从塔顶由静止释放小球A的时刻为计时零 点，t0时刻又在与小球A等高的位置处由静止释放小球 B。若两小球都只受重力作用，设小球B下落时间为t，在两小球落地前，两小球间的高度差为 x，则 图线为()0 xt t【解题思维】1.题型特征：辨别运动图象形状。2.题型解码：(1)
7、根据运动规律，得出两个坐标轴代表的物理量间的函数关系式。(2)分析函数关系式，根据数学知识，确定图线形状。【解析】选B。t0时刻小球A的速度为gt0，小球B的速度 为0，根据匀变速直线运动规律，两小球下落的高度分 别为hA=(gt0)t+gt2和hB=gt2，则 x=hA-hB=gt0t，即 与t0成正比，选项B正确。1212x t【触类旁通】(多选)(2018芜湖模拟)一物块在水平 地面上，以一定的初速度沿水平面滑动，直至速度为 零，物块与水平面之间的动摩擦因数恒定，设初速度 的方向为正方向。关于物块运动的位移x、速度v、加 速度a、位移与时间的比值 随时间t变化的图象，下 列正确的是()x
8、t【解析】选B、D。x-t图象的斜率表示速度，A中速度 在增大，而物块的速度在减小，A错误；物块运动的方 向一直为正方向，因此速度为正，物块做匀减速直线 运动，v=v0-at，故v-t图线为直线，B正确；由于物块 与水平面间的动摩擦因数恒定，因此加速度恒定，且 加速度方向与运动方向相反，即加速度为负值，C错误；x=v0t-at2，变形可得：，故得 -t图 象为直线，D正确。120 x1vatt2xt【提分秘籍】1.消除对运动学图象的“误会”：(1)无论x-t图象、v-t图象是直线还是曲线，所描述的运动情况都是直线运动，即x-t图象、v-t图象都不是物体运动的轨迹。(2)x-t图象、v-t图象的
9、形状由x与t、v与t的函数关系决定，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应。2.图象分析标准化程序：3.两类典型的运动图象：x-t图象v-t图象轴横轴为时间t，纵轴为位移x横轴为时间t，纵轴为速度v线倾斜直线表示匀速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动斜率表示速度表示加速度x-t图象v-t图象面积无实际意义图线与时间轴围成的面积表示位移大小纵截距表示初位置表示初速度特殊点 拐点表示速度变化，交点表示相遇拐点表示加速度变化，交点表示速度相等【加固训练】如图所示的位移时间(x-t)图象和速度时间(v-t)图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是()
10、A.甲车做直线运动，乙车做曲线运动 B.0t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程 C.0t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远 D.0t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等【解析】选C。在x-t图象中表示的是做直线运动的物 体的位移随时间的变化情况，而不是物体运动的轨 迹。由于甲、乙两车在0t1时间内做单向的直线运 动，故在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B均错。在v-t图象中，t2时刻丙、丁两车的速度相 等，故两车相距最远，C正确。由图线可知，0t2时 间内丙车的位移小于丁车的位移，故丙车的平均速度小于丁车的平均速度，D错误。2.(多选)物体在x轴上做直线运动，则上下两图对应
11、关系正确的是(图中F表示物体所受的合外力，a表示物体的加速度，v表示物体的速度，x表示物体的位移，C、D图中曲线为抛物线)()【解析】选B、D。由F-t图象可以看出，力F随时间成线 性关系，根据牛顿第二定律得：a=，所以加速度a也 随时间成线性关系，在前半个周期内F为正值，加速度也 为正值，故A错误。对于a-t图象可以看出前半段时间加 速度恒定，后半段时间加速度反向，大小恒定，对于 v-t图象可以看出前半段时间图象是直线，斜率是正值，后半段时间图象也是直线，斜率是负值，对于速度时 Fm间图象，其斜率代表物体的加速度，故B正确。x-t图象，其斜率代表物体的速度，由x-t图象斜率看出，物体的速度增
12、大，而v-t图象的速度在减小，故C错误。x-t图象，其斜率代表物体的速度，对于x-t图象可以看出整段时间图象的斜率增大，说明物体的速度增大，若速度均匀增大，加速度不变，故D正确。【典题突破】典例4 (本题涉及题型1、2)(2019常德模拟)甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：(1)乙车在追上甲车前，两车相距最大的距离。(2)乙车追上甲车所用的时间。【解题思维】题型 题型1 题型2 题型特征 最大距离 时间计算 题型解码 速度相等时 距离最大(1)根据位移关系式
13、，列式求解(2)注意前车是否停止【解析】(1)设甲车的起始速度为v1，乙车的起始速度 为v2，在乙车追上甲车之前，当两车速度相等时两车间 的距离最大，设此时经历的时间为t1，则 由v2=v1+at1得 2112vv4 m/s 10 m/st12 sa0.5 m/s，此时甲车的位移 x1=v1t1+=1012 m-0.5122 m=84 m 乙车的位移x2=v2t1=412 m=48 m 所以两车间的最大距离 x=x1-x2=84 m-48 m=36 m 211 at212(2)设经过时间t乙车追上甲车，此时两车的位移相 同，则有v2t=v1t+at2 代入数据解得t=24 s 甲车刹车到停止所
14、需的时间t=20 s。所以乙车在甲车停止运动后才追上甲车，应根据 =2ax2，x2=v2t，121va21v代入数据解得t=25 s。答案：(1)36 m(2)25 s【触类旁通】如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1=2.5 m/s2，甲车运动6 s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2=5 m/s2，求：(1)两辆汽车再经过多长时间相遇。(2)两辆汽车相遇处距A处的距离。【解析】(1)甲车运动6 s的位移为 此时甲车尚未追上乙车。设此后经过时间t与乙车相遇，则有 a1(t+t0)2=
15、a2t2+85 m，将上式代入数据并整理得：t2-12t+32=0，解得：t1=4 s，t2=8 s。201 01xa t45 m21212t1、t2都有意义，t1=4 s时，甲车追上乙车；t2=8 s时，乙车追上甲车再次相遇。(2)第一次相遇地点距A的距离：x1=a1(t1+t0)2=125 m，第二次相遇地点距A的距离：x2=a1(t2+t0)2=245 m。答案：(1)4 s，8 s(2)125 m，245 m 1212典例5 (本题涉及题型1、2、4)(2018济南模拟)货车A正在公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两
16、车距离仅有75 m。(1)若此时B车立即以2 m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车。(2)若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)，为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度至少多大才能避免相撞。(这段公路很窄，无法靠边让道)【解题思维】题型 题型1 题型2 题型4 题型 特征 通过临界条件列式判断能否相撞 通过列函数表达式判断能否相撞 两车相对运动，假设以其中一辆为参考系 题型 题型1 题型2 题型4 题型 解码(1)找临界条件，两车速度相等，两车相
17、距最近或相撞(2)列式求两车各运动的位移(3)比较得出结果 列一元二次方程式，代入数据求解，若有解，则判断相撞 设作为参考系的车不动，另外一辆相对做初速度不为0的匀减速运动，列式判断即可【解析】(1)解法1：临界法 当两车速度相等时，A、B两车相距最近或相撞。设经过的时间为t，则：vA=vB 对B车vB=at 联立可得：t=10 s A车的位移为：xA=vAt=200 m B车的位移为：xB=at2=100 m 因为xB+x0=175 m 75 m 所以两车会相撞。2BBB0vx2a(2)已知A车的加速度大小aA=2 m/s2，初速度v0=20 m/s 设B车的加速度为aB，B车运动经过时间t
18、，两车相遇时，两车速度相等，则有：vA=v0-aAt，vB=aBt 且vA=vB 在时间t内A车的位移为：xA=v0t-aAt2 B车的位移为：xB=aBt2 又xB+x0=xA 联立可得：aB0.67 m/s2。答案：(1)见解析(2)0.67 m/s2 1212【触类旁通】一列快车以20 m/s的速度在铁路上做直线运动，司机突然发现铁轨正前方500 m处有一货车以10 m/s的速度同向行驶。司机经0.5 s的时间做出反应紧急刹车，已知快车的刹车过程可视为匀减速运动，且快车从紧急刹车到停下来仍需要继续滑行2 000 m才行。判断两车相撞了没有？【解析】快车的加速度：由v2-=2ax 可得 m
19、/s2=-0.1 m/s2 速度相等时所需时间：由v=v0+at 可得 =100 s 此过程中快车的位移 20v222vv020a 2x2 2 000快vv1020t sa0.1货快 在反应时间内快车的位移 x反=v快t反=200.5 m=10 m 在此过程中货车的位移 x货=v货(t+t反)=10(100+0.5)m=1 005 m 2222vv1020 xm1500 m2a20.1 货快快因为x快+x反=1 500 m+10 m=1 510 mx货，故两车会相撞。答案：两车会相撞 典例6(本题涉及题型3)(多选)入冬以来，全国多地多次发生雾霾天气，能见度不足20 m，在这样的恶劣天气中，甲
20、、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙在前、甲在后同向行驶。某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车。两辆车刹车时的v-t图象如图，则()A.若两车发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距一定小于100 m B.若两车发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距一定小于200 m C.若两车发生碰撞，则一定是在刹车后20 s以内的某时刻发生相撞 D.若两车发生碰撞，则一定是在刹车后20 s以后的某时刻发生相撞【解题思维】1.题型特征：v-t图象分析相遇问题。2.题型解码：(1)根据图象确定速度相等的时刻。(2)根据图线与坐标轴围成的面积分析相应时间段内的位移。【解析】选A、C。由图可知，两车速度相
21、等经历的时间 为20 s，甲车的加速度a1=m/s2=-1 m/s2，乙车的加 速度a2=m/s2=-0.5 m/s2，两车速度相等时，甲车的 位移x甲=v甲t+a1t2=2520 m-1400 m=300 m，乙车的位移x乙=v乙t+a2t2=1520 m-0.5 400 m=200 m，可知要不相撞，则两车间的最小距离 2525153012121212 x=300 m-200 m=100 m，因为两车发生碰撞，则两车的距离小于100 m，故A正确，B错误；因为速度相等后，若不相撞，两者的距离又逐渐增大，可知两辆车一定是在刹车后的20 s之内的某时刻发生相撞的，故C正确，D错误。【触类旁通】
22、(多选)(2016全国卷)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图象如图所示。已知两车在t=3 s时并排行驶，则()A.在t=1 s时，甲车在乙车后 B.在t=0时，甲车在乙车前7.5 m C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m【解析】选B、D。据图象可知，t=1 s到t=3 s，甲和乙运动位移都等于40 m，因此在t=1 s时两车另一次并排行驶，A、C错，D对；t=0到t=1 s，乙的位移为 12.5 m，甲的位移为5 m，在t=0时，甲车在乙车前 7.5 m，B对。故选B、D。【提分秘籍】1.求解追及和相遇问题的两点技巧：2
23、.求解追及和相遇问题的几种方法：(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者时，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者时，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。(2)函数法：根据运动学规律，写出所研究的物理量在某过程或某状态的关系式，然后根据数学知识进行分析。例如分析两个物体是否相遇时，设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0，若方程无正实数解，则说明两个物体不可能相遇；若方程存在正实数解，说明这两个物体能相遇。(3)图象法：若用位移时间图象求解，分别作出两个物体的位移时间图象，如果两个物体的位移时间图象相交，则说明两物体相遇
24、。若用速度时间图象求解，则注意比较速度图象与时间轴包围的面积。(4)相对运动法：在高中阶段，若两个运动的物体中，有一个物体做匀速直线运动，可以以该物体为参考系，分析另一个物体的运动，那么分析两个物体运动的问题就变成了分析一个物体运动的问题。【加固训练】1.A、B两车在同一直线上运动，A在后，B在前。当 它们相距x0=8 m时，A在水平拉力和摩擦力的作用下，正 以vA=8 m/s的速度向右做匀速运动，而物体B此时速度 vB=10 m/s向右，它在摩擦力作用下以a=-2 m/s2做匀减 速运动，求：(1)A未追上B之前，两车的最远距离为多少？(2)经过多长时间A追上B？(3)若vA=3 m/s，其
25、他条件不变，求经过多长时间A追上B？【解析】(1)设时间t1时两车速度相同，此时相距最 远，则有vA=vB+at1 代入数据解得t1=1 s 两车最远距离x=xB+x0-xA=vBt1+x0-vAt1=10 1 m-21 m+8 m-81 m=9 m。211 at212(2)设A追上B时为t2 由vAt2=vBt2+x0 代入数据解得t2=4 s，B速度减为零的时间t0=s=5 s，可知此时B还未停止。221 at2102(3)B匀减速到停止的时间为：t0=s=5 s。在5秒内A运动的位移：xA=vAt0=35 m=15 m 在5秒内B运动的位移：xB=vBt0+=105 m-252 m=25
26、 m 因为：xAxB+x0，即：B停止运动时，A还没有追上B。A追上B的时间为：102201 at212 答案：(1)9 m(2)4 s(3)11 s B0A30Axxx258 15tt5 s s11 sv3。2.汽车前方120 m有一自行车正以6 m/s的速度匀速前进，汽车以18 m/s的速度追赶自行车，若两车在同一条公路不同车道上做同方向的直线运动，求：(1)经多长时间，两车第一次相遇？(2)若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2 m/s2，则再经多长时间两车第二次相遇？【解析】(1)设经t1秒，汽车追上自行车，由题意得：v汽t1=v自t1+x 代入数据解得：t1=10 s；(2)汽车的加速度大小为a=2 m/s2，设第二次追上所用 的时间为t2，则有：v自t2=v汽t2-代入数据解得：t2=12 s。设汽车从刹车到停下用时t3秒，则有：故自行车再次追上汽车前，汽车已停下 221 at232vt9 sta汽，停止前汽车的位移为：x汽=设经t4时间追上，则有：v自t4=解得：t4=13.5 s，再经过13.5 s两车第二次相遇。答案：(1)10 s(2)13.5 s 30vt2汽30vt2汽
