1、3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法 第三章 函数 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数.(重点)2了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法求函数零点近似解的步骤(难点)3理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题(重点、难点)1通过零点存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养2通过二分法的学习，提升数据分析、数学建模的学科素养3理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养.情境导学探新知 NO.1某电视台有一个节目叫“价格猜猜猜”，就是主持人给竞猜者展示一件新式产品，让竞猜者去猜物
2、品的价格，主持人会提示价格“高了”还是“低了”，然后竞猜者继续猜，怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？知识点一 函数零点存在定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图像是的，并且(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数 yf(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即x0(a，b)，f(x0)0.f(a)f(b)0连续不断利用函数零点存在定理能确定零点个数吗？提示 不能只能判断零点是否存在，不能确定零点的个数1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数 yf(x)在a，b上图像连续，且 f(a)f(b)0，则 yf(x)在(a，b)内一定没有零点()(2)若函数 yf(x)在区间(a，b
3、)内有零点，则 f(a)f(b)0.()(3)若函数 f(x)在a，b上是单调函数，则 f(x)在a，b上至多有一个零点()(4)函数 y2x1 的零点是12，0.()答案(1)(2)(3)(4)2.下列图像表示的函数中没有零点的是()A B C D A B，C，D 的图像均与 x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图像与 x 轴没有交点，故函数没有零点知识点二 求函数零点的近似值的一种计算方法二分法 1二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且的函数 yf(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到的方法称为二分法零点近似值f(a)f(b)0一分为二
4、(1)二分法只能求函数的变号零点(函数图像通过零点时穿过 x 轴，这样的零点为变号零点)的近似值(2)二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现2用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数 f(x)在a，b上的零点近似值的步骤是：第一步 检查|ba|2 是否成立，如果成立，取 x1 ，计算结束；如果不成立，转到第二步ab2第二步 计算区间(a，b)的中点ab2 对应的函数值，若 fab20，取 x1 ，计算结束；若 fab20，转到第三步第 三 步 若f(a)fab2 0，将 ab2的
5、 值 赋 给_用ab2 b表示，下同，回到第一步；否则必有 fab2f(b)0，将ab2 的值赋给，回到第一步ab2ba3.下列函数不宜用二分法求零点的是()Af(x)x31 Bf(x)2x3x5 Cf(x)x22 2x2Df(x)x24x1 C 因为 f(x)x22 2x2(x 2)20，不存在小于 0 的函数值，所以不能用二分法求零点4.用“二分法”可求近似解，对于精确度 说法正确的是()A 越大，零点的精确度越高 B 越大，零点的精确度越低 C重复计算次数就是 D重复计算次数与 无关 B 依“二分法”的具体步骤可知，越大，零点的精确度越低5.若函数 f(x)在a，b上的图像为一条连续不断
6、的曲线，且同时满足 f(a)f(b)0，则()Af(x)在a，ab2上有零点Bf(x)在ab2，b 上有零点 Cf(x)在a，ab2上无零点Df(x)在ab2，b 上无零点 B 由 f(a)f(b)0，可知 fab2f(b)0，根据零点的存在性定理，可知 f(x)在ab2，b 上有零点故选 B合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型4 类型 1 判断函数零点个数或所在区间【例 1】(1)已知函数 yf(x)的图像是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：x123456 y 123.5621.457.8211.4553.76 128.88则下列说法正确的是()A函数 yf(x)在区间1
7、,6上有 3 个零点B函数 yf(x)在区间1,6上至少有 3 个零点C函数 yf(x)在区间1,6上至多有 3 个零点D函数 yf(x)在区间1,2上无零点(2)函数 f(x)x3x5 的零点所在区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)(1)B(2)B(1)由表可知，f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，但函数 yf(x)在1,2上也有可能存在一个或多个零点(2)由函数 f(x)x3x5 可得 f(1)11530，故有 f(1)f(2)0，根据函数零点存在定理可得，函数 f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选 B判断函数零点所在区间有哪 3 个步骤？
8、提示(1)代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点跟进训练1若函数 yf(x)在区间a，b上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A若 f(a)f(b)0，则不存在实数 c(a，b)使得 f(c)0B若 f(a)f(b)0，则存在且只存在一个实数 c(a，b)使得 f(c)0C若 f(a)f(b)0，则有可能存在实数 c(a，b)使得 f(c)0D若 f(a)f(b)0，则有可能不存在实数 c(a，b)使得 f(c)0
9、C 对于 A 选项，可能存在，如 yx2；对于 B 选项，必存在但不一定唯一，选项 D 一定存在类型 2 对二分法概念的理解【例 2】下列图像与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()B 利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项 B 中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点由于 A、C、D 中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性.对“函数在区间a，b上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可.跟进训练2如图是函数 f(x)的
10、图像，它与 x 轴有 4 个不同的公共点给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)的零点近似值的是()A(2.1，1)B(1.9,2.3)C(4.1,5)D(5,6.1)B 只有 B 中的区间所含零点是不变号零点类型 3 用二分法求函数零点的近似值【例 3】求函数 f(x)x25 的负零点(精确度为 0.1)解 由于 f(2)10，故取区间(3，2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(3，2)2.51.25(2.5，2)2.250.062 5(2.25，2)2.1250.484 4(2.25，2.125)2.187 50.214 8(2.25，2.
11、187 5)2.218 750.077 1 由于|2.25(2.187 5)|0.062 50.1，所以函数的一个近似负零点可取2.25.利用二分法求函数零点应关注 3 点(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算跟进训练3证明函数 f(x)2x3x6 在区间1,2内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为 0.1)解 由于 f(1)10，又函数 f(x)在1,2内是增函数，所以函数在区间1,2内有唯一零点，不妨设为 x0，则 x
12、01,2下面用二分法求解(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)fab2(1,2)1.5f(1)0f(1.5)0(1,1.5)1.25f(1)0f(1.25)0(1,1.25)1.125f(1)0f(1.125)0(1.125,1.25)1.187 5f(1.125)0 f(1.187 5)0因为|1.187 51.25|0.062 50.1，所以函数 f(x)2x3x6 的精确度为 0.1 的近似零点可取为 1.25.类型 4 一元二次方程根的分布问题【例 4】已知关于 x 的方程 7x2(m13)xm20 的一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，则实数 m 的取值范围为(
13、)A(4，2)B(3，2)C(4,0)D(3,1)思路点拨 画出对应二次函数的大致图像根据零点的位置列出关于m的不等式组 求解即可 A 设函数 f(x)7x2(m13)xm2，则由题意可画出函数 f(x)的草图如图所示，由图可得 f0m20，f12m80，f23m0，解得4m2.故实数 m 的取值范围为(4，2)解一元二次方程根的分布问题一般从 4 个方面考虑(1)抛物线开口方向(2)一元二次方程根的判别式(3)对应区间端点函数值的符号(4)抛物线的对称轴与区间端点的位置关系跟进训练4关于 x 的一元二次方程 x2(m1)x10 在区间0,2上有实数解，求实数 m 的取值范围解 设 f(x)x
14、2(m1)x1，x0,2，若 f(x)0 在区间0,2上有一个实数解，f(0)10，f(2)0 或f20，m122.又 f(2)22(m1)21，m32.若 f(x)0 在区间0,2上有两个实数解，则0，0m122，f20，即m1240，3m1，4m1210.m3或m1，3m1，m32，32m1 综上，实数 m 的取值范围为m|m1.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1函数 yx28x16 在区间3,5上()A没有零点 B有一个零点C有两个零点D有无数个零点B 令x28x160，得 x4，故函数 yx28x16 在3,5上有一个零点故选 B2 1 3 4 5 2下列函数中，不能用二分
15、法求零点的是()A B C D2 1 3 4 5 D 由函数图像可得，D 中的函数没有零点，故不能用二分法求零点；A，B，C 中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点3 1 2 4 5 3已知函数 f(x)3ax12a 在区间(1,1)上存在零点，则()A15a1Ba15Ca15或 a1Da153 1 2 4 5 C f(x)3ax12a 在区间(1,1)上单调且存在零点，f(1)f(1)(3a12a)(3a12a)(5a1)(a1)0，a1 或 a15.故选 C4 1 2 3 5 4对于函数 f(x)，若 f(1)f(3)0，则()A方程 f(x)0 一定有实
16、数解B方程 f(x)0 一定无实数解C方程 f(x)0 一定有两实数解D方程 f(x)0 可能无实数解D 函数 f(x)的图像在(1,3)上不一定连续，故尽管 f(1)f(3)0，但不一定函数 yf(x)在(1,3)上有实数解2 4 5 1 3 5已知二次函数 f(x)x2x6 在区间1,4上的图像是一条连续的曲线，且 f(1)60，由零点存在定理可知函数在1,4内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点 a，则 f(a)_.2.25 显然(1,4)的中点为 2.5，则 f(a)f(2.5)2.522.562.25.回顾本节知识，自我完成以下问题：1判断函数存在零点有哪些方法？提示(1)方程
17、法：若方程 f(x)0 的解可求或能判断解的个数可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数(2)图像法：由 f(x)g(x)h(x)0，得 g(x)h(x)，在同一平面直角坐标系内作出 y1g(x)和 y2h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数 2根据函数零点个数求参数值(范围)有哪些方法？提示 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围(2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解 3用二分法求函数零点的近似值应遵循怎样的原则？提示(1)需依据图像估计零点所在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成)(2)取区间端点的中点 c，计算 f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值 4二分法求函数零点需满足什么条件？提示 并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间a，b上的图像连续不断；(2)f(a)f(b)0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
