1、人大附中朝阳学校20192020学年度第二学期高一年级统练数学试题（一）考生须知1.本试卷分为、两卷，共有17题，共2页试题，2页答题纸，考试时间为60分钟，满分为100分.2.第卷各题均须用黑色签字笔按规定要求在答题纸上作答.3.请将个人信息完整填写在密封线内.4.客观题用手机登陆网页，对应输入选项（题号选项要对应）；主观题拍照，上传照片（拍照时务必保证手机竖立并与试卷平行且为同一方向）.第I卷（共40分请将答案用手机登陆网页，对应输入选项）一、选择题（本题包括8小题，每小题4分，共32分.每小题只有一个选项符合题意.）1. 如果点位于第二象限，那么角所在象限是（ ）A. 第一象限B. 第二
2、象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由点位于第二象限可得,即可判断所在象限.【详解】由题,因为点位于第二象限,所以,所以在第四象限,故选:D【点睛】本题考查象限角,属于基础题.2. 已知集合那么集合M和N的关系是（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】由，因为是奇数，得到结论.【详解】因，而是奇数，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了角的表示及集合的关系，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.3. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积的定义可构造方程求得夹角的余弦值，进
3、而确定夹角.【详解】由得：，解得：，又，.故选：.【点睛】本题考查平面向量夹角的求解，解题关键是能够利用平面向量数量积的定义构造方程求得夹角的余弦值.4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D 向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】试题分析：由题意，为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，故选D.【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得的图象，再把横坐标变为原来的
4、倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向左平移个单位得的图象5. 若点在角的终边上，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，故选D考点：任意角三角函数值6. 如图，网格纸上小正方形的边长为.从四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（ ）A. 1B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义可知，向量在向量方向上的投影最大时，取最大值.【详解】由题意知，取最大值时，向量在向量方向上的投影最大.由图形可知，当时，向量在向量方向上的投影最大.即的最大值为3.故选：.【点睛】本题考
5、查向量数量积的几何意义，属于基础题.7. 已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，由于角为第三象限角，故，.8. 已知函数，则下列说法正确的个数是（ ）的图像关于对称且周期为若，则若，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】通过整体代入法可验证出不是的对称中心，时，不单调，排除；根据正弦型函数周期性和对称性可知正确；利用整体代入法可求得在上的最值，由最值可推得结论，知正确.【详解】对于，若成立，即，则是的对称中心，当时，不是的对称中心，错误；对于，其最小正周期为；当时，是的对称轴，即关于对称，正确；对于，当时，此时不单调递增，错误；对于，当时，此时，正
6、确.故选：.【点睛】本题考查正弦型函数的性质的应用，涉及到正弦型函数的周期性、对称性、单调性和最值问题的求解，解题关键是熟练应用整体代入的方法，结合正弦函数的性质来进行分析，属于常考题型.第卷（非选择题部分共110分）二、填空题（本题包括6小题，每个小题5分，共30分）9. 已知，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得；利用商数关系可得到关于正余弦的齐次式，进而构造关于的方程求得结果.【详解】由得：，解得：；由得：，解得：或.时，若，则且，即，.故答案为：；.【点睛】本题考查利用同角三角函数平方关系和商数关系求值的问题，易错点是忽略正余弦
7、的大小关系，造成求解正切值时出现增根.10. 函数的定义域为_【答案】【解析】由，得，解得，又，函数的定义域为答案：11. 已知函数，则函数最值为_，此时的值为_【答案】 (1). ， (2). ，【解析】【分析】利用同角三角函数平方关系和换元法将问题转化为二次函数最值的求解问题，结合正弦函数的范围可确定最值及最值点.【详解】，令，则，则，当时，；当时，即当时，；当时，.故答案为：，；，.【点睛】本题考查含正弦的二次型函数最值的求解问题，解题关键是能够利用同角三角函数平方关系和换元法将问题转化为二次函数最值的求解问题，属于常考题型.12. 已知扇形圆心角为60，其弧长为，则此扇形的面积为_；该
8、弧所在的弓形面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据扇形弧长公式可求得半径，进而利用扇形面积公式求得面积，作差的方式可求得弓形面积.【详解】设扇形的半径为，则，解得：，扇形的面积.该弧所在的弓形面积.故答案为：；.【点睛】本题考查扇形弧长与面积公式的应用，涉及到弓形面积的求解，属于基础题.13. 已知，若，则_【答案】【解析】因为,所以,又因为,所以,所以=,又因为,所以=.14. 已知扇形的圆心角为，半径为2，是其弧上一点，若，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】以为基底，表示，这是一个正交的基底，故，再由基本不等式求得的最大值.【详解】以为坐标原点，分别为轴建立平面直
9、角坐标系，画出图像如下图所示.由于相互垂直，以为基底，这是一个正交的基底，表示，根据图像可知，即，故，当且仅当时，等号成立.故的最大值为.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得这个基本的形式，还要注意它的变形.三、解答题（12+12+14）15. 已知，（1）化简；（2）若，且，求值；（3）证明：，并求满足的的取值集合.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析；.【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简可得结果；（2）根据同角三
10、角函数平方关系可求得结果；（3）利用向量数量积的定义和坐标运算，可证得两角差的余弦公式，代换角可得两角和的正弦公式，令可证得结论；结合可将不等式化为，利用正弦函数的性质可求得结果.【详解】（1）；（2），当时，；（3）证明：设为单位圆上两点，则，将换为，则，令，则；由得：，即，解得：，即满足的的取值集合为【点睛】本题考查三角函数部分知识的综合应用问题，涉及到利用诱导公式化简、利用同角三角函数平方关系求值、二倍角正弦公式的证明、利用正弦型函数的值域求解定义域的问题；本题综合性较强，对于学生的运算求解能力有较高要求.16. 已知平面向量满足:，|.（1）若，求的值；（2）设向量的夹角为，若存在，使
11、得，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）用向量数量积运算法则展开；（2）两边同时平方，转化为关于的一元二次方程有解.【详解】（1）若，则，又因为，|，所以，所以；（2）若，则，又因为，所以即，所以，解得或，所以.【点睛】本题关键:“向量模的关系”转化为“关于的一元二次方程有解”，再转化为的不等式，属于中档题.17. 设函数，.（1）若，求的最大值及相应的的取值范围；（2）若是的一个零点，且，求的最小正周期和在上的单调递增区间.【答案】（1）的最大值为，相应的的取值范围为；（2）的最小正周期为，在上的单调递增区间为，和.【解析】【分析】（1）利用诱导公式和辅助角公式将化为的形式，利用整体对应法可求得最大值和取得最大值时的的取值；（2）利用诱导公式和辅助角公式将化为的形式，利用和的范围可确定的值；利用整体对应法求得单调递增区间，找到位于之间的单调递增区间即可.【详解】（1）当时，此时，解得：，的最大值为，相应的的取值范围为.（2），解得：，又，的最小正周期.令，解得：，即的单调递增区间为，当，时，单调递增，在上的单调递增区间为：，和.【点睛】本题考查正弦型函数的最值及最值点、最小正周期和单调区间的求解问题，涉及到诱导公式和辅助角公式化简三角函数的问题；解题关键是能够熟练应用整体对应的方式，结合正弦函数的性质来进行求解，属于常考题型.
