1、第三章 数列1、设数列an的前n项和为Sn, 已知，且( nN*)， 则过点P(n,) 和Q(n+2,)( nN*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ） A（2，） B(-1, -1) C(, -1)D（） 1、D【思路分析】由条件知=2 是等差数列，= 5+ (n 1)2 = 2n + 3Sn = 2n2 + 3n，当n2时，an = Sn = Sn 1 = 4n+1 (a1也适合)kPQ = 4，设直线PQ的方向向量为= (a , b)，则有= 4，只有D符合.【命题分析】考查等差数列的通项与前n项和，递推数列，直线的方程以及方向向量等基础知识.2（文）已知数列an中a1=1满足an+
2、1=an+2n，nN*，则an=（ ）An2+n+1 Bn2-n+1 Cn2-2n+2 D2n2-2n+12解答：由开口向上得：a0，由顶点在第二象限得：b0 选C评析：本题考察考生对导数及一次、二次函数图象的应用。（文）解答：用特值法，取n=1，2即可。a2=3选B评析：本题考察考生对特值法的应用。3、已知函数 且 ， 则 ( )A.100 B.-100 C. D.3、A 为奇数时 为偶数 ， ， 为偶数时，为奇数， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .4、已知等差数列an的前n项和为，若,则等于（ ）A72B54C36D184A【思路分析】：由得，【命题分析】：考察等差数列的通项公式
3、、求和公式及性质5、数列满足（且），是的前次和，则为 （ ） A、 B、 C、6 D、105、（分析：显然是一个等和数列，即形如： ，1，1, 选A项）6在正项等比数列an中，a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根，则a8a10a12=（ ）A32B64C64D2566B 思路分析：由等比数列的性质知： a10=4 则a8a10a12=64命题分析：考查等比数列的性质7设数列的前n项和为，令，称为数列，的“理想数”，已知数列，的“理想数”为2008，那么数列2， ，的“理想数”为A2002 B 2004 C 2006 D 20087 C【思路分析】： 【命题分析】：考查理解能力 8一个
4、正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：12 34 5 6 7则第8行中的第5个数是A、68 B、132 C、133 D、2608C9（理）设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：若数列既是等差数列又是等比数列，则；若，则数列是等差数列；若，则数列是等比数列.这些命题中，真命题的个数是.A0B1C2D39理D【思路分析】：不妨设数列的前三项为，则其又成等比数列，故，即；由的公式，可求出，故是等差数列；由可求由，故数列是等比数列. 故选.【命题分析】：考查等差、等比数列的概念，与的关系，思维的灵活性.10、（文）等差数列的公差且，则数列的前项和取得最大值时的项数是（
5、）A5B6C5或6D6或710、文C【思路分析】：由，知.，故选C.【命题分析】：考查等差数列的性质，求和公式. 要求学生能够运用性质简化计算.11、（理）设=，数列满足，则数列的通项公式是.11、理 【思路分析】:令则,则，两式相减得：时，且，.【命题分析】：考查运用所学知识解决实际问题的能力，数列函数的思想，通项的求法，组合数的公式等知识.12(14分)已知函数f(x)x3ax在(0，1)上是增函数(1)求实数a的取值集合A；(2)当a取A中最小值时，定义数列an满足：2an1f(an)，且a1b(0，1)(b为常数)，试比较an1与an的大小；(3)在(2)的条件下，问是否存在正实数c使
6、00, 且an+1=， ()试求a1的值，使得数列an是一个常数数列； ()试求a1的取值范围,使得an+1an对任何自然数n都成立； ()若a1 = 2，设bn = | an+1an| (n = 1，2，3，)，并以Sn表示数列bn的前n项的和，求证：Sn0，可得an0并解出：an=，即a1 = an = 4 ()研究an+1an= (n2) 注意到0因此，可以得出：an+1an，anan1，an1an2，a2a1有相同的符号7要使an+1an对任意自然数都成立,只须a2a10即可.由0，解得：0a1时，an+1an对任何自然数n都成立.因此当a1=2时，an+1an0 10 Sn= b1+
7、b2+bn=|a2a1| + |a3a2| + |an+1an|=a1a2a2a3anan+1=a1an+1=2an+1 13又：an+2=, 故Sn2=1414、（本题满分12分）已知数列的前项和，且， 。（1）求数列的通项次式；（2）已知定理：若函数在区内D上是凹函数，且存在，则当时，总有且函数在上是凹函数，试判断与的大小。（3）求证：14、解：（1）时，又， 从而 当时也满足（2），对于凹函数，有令得即（3）又由（2） （点评：本题考查了数列的知识，解起来比较繁琐，一定要仔细，会常常用到二次项式定理和其它一些知识）15、已知函数（nN+）且y=f(x)的图象经过(1,n2)，数列an为等
8、差数列。 （14）求数列an的通项公式；当n为奇数时，设g(x)=，问是否存在自然数m和M使得不等式恒成立？若存在，求出m与M，若不存在说明理由。15、思路分析：（I）由题意得f(1)=n2，即a0+a1+a2+an=n2。令n=1，则a0+a1=1.令n=2，则a0+a1+a2=22.a2=4-(a0+a1)=3.令n=3，则a0+a1+a2+a3=32,a3=9-( a0+a1+a2)=5.设等差数列an的公差为d，则d=a3-a2，a1= a2-d=1，a0=0.an=1+(n-1)2=2n-1.6（II）由（I）知：f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn.n为奇数时，f(-x)
9、=-a1x +a2x2-a3x3+an-1xn-1-anxn.=a1x+a3x3+a5x5+an-2xn-2+anxn. 由-得10设，,(nN+)，cn随n的增加而减小.又随n的增大而减小，为n的增函数.当n=1时，=,而=-，.由此易知：使恒成立的m的最大值为0，M的最小值为2。命题分析：本题是函数、数列与不等式的综合大题，主要考查了奇函数的概念、数列的单调性及数列求和的方法。16、已知函数，数列是公差为d的等差数列，数列是公比为q的等比数列（q1，），若,，（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，对都有，求（3）若数列满足， ，试判断中的最大项为第几项，并说明理由。16、解：
10、（1）数列为等比数列，为等比数列，又，解得d2，又为等比数列，而， 4分（2）由 -得对于，知其为等比数列， 8分（3） 当时，当时， ， ，而故中的最大项为第8项。 17、（14分）点,点A1(x1,0),A2(x,0),，An(xn,0),顺次为x轴上的点,其中x1=a（0a1).对于任意nN*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形.(1)求数列yn的通项公式，并证明它为等差数列；(2)求证：x- x是常数，并求数列 x的通项公式；(3)上述等腰AnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a的值；若不可能，请说明理由17、 2分 相减，得x-x=2x，x，x，x
11、，成等差数列；x，x，x，x，成等差数列，4分x= x+（n-1）2=2n+a-2，x= x+（n-1）2=（2-a）+（n-1）2=2n-a 7分(3)当n奇数时，An（n+a-1，0），An+1（n+1-a，0），所以 | AnAn+1 | =2（1-a）；当n是偶数时，An（n-a，0），An+1（n+a，0），所以| AnAn-1 | =2a 9分要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必需且只需| AnAn-1 | =2| BnCn | . 11分 13分 14分18、文已知是公比为q的等比数列，且成等差数列.（）求q的值；（）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？说明理由.1
12、8文、【思路分析】 （）依题意，得2am+2 = am+1 + am2a1qm+1 = a1qm + a1qm 1在等比数列an中，a10，q0，2q2 = q +1，解得q = 1或. 4分（）若q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1，Sm + 2 = (m+2) a1 a10，2Sm+2S m + Sm+1 6分若q =，Sm + 1 =Sm + Sm+1 = =2 Sm+2 = S m + Sm+1 11分故当q = 1时，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列；当q =时，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列. 12分19、（
13、12分）已知数列an的首项（a是常数），（）（）是否可能是等差数列.若可能，求出的通项公式；若不可能，说明理由；（）设，（），为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a、b满足的条件19. 解：（） 若是等差数列，则但由，得a=0,矛盾.不可能是等差数列() (n2) 当a1时, 从第2项起是以2为公比的等比数列n2时,是等比数列, (n2)是常数 a-1时, b-2a-2=0 当a=-1时，（n3）,得（n2） 是等比数列 b0综上, 是等比数列,实数a、b所满足的条件为 练习：20、（14分）（理）已知函数，数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）记. 求；设数列的前项和，是否存在实数，对均有成立，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由.（文）定义在实数集上的函数满足：当时，；任意，均有. 数列满足:.（1）试判定函数的单调性；（2）求数列的通项公式；（3）求使对任意正整数都成立的正实数的取值范围.高考资源网 2006精品资料系列
