1、章末复习学习目标 1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.知识点一 在 xx0 处的导数1.定义：函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率，若 x 无限趋近于 0 时，比值yxfx0 xfx0 x无限趋近于一个常数 A，称函数 yf(x)在 xx0 处可导.常数 A 为 f(x)在 xx0 处的导数.2.几何意义：函数 yf(x)在 xx0 处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线斜率.3.物理意义
2、：瞬时速度、瞬时加速度.知识点二 基本初等函数的求导公式函数导数yCy0yx(为常数)yx1ysin xycos xycos xysin xyax(a0 且 a1)yaxln ayexyexylogax(a0 且 a1)y 1xln ayln xy1x知识点三 导数的运算法则和差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)商的导数fxgxfxgxfxgxg2x(g(x)0)知识点四 函数的单调性、极值与导数1.函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x)0，那么函数 yf(
3、x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值与导数(1)极大值：在 xa 附近，满足 f(a)f(x)，当 x0；当 xa 时，f(x)0，则点 a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；(2)极小值：在 xa 附近，满足 f(a)f(x)，当 xa 时，f(x)a 时，f(x)0，则点 a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.知识点五 求函数 yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤1.求函数 yf(x)在(a，b)内的极值.2.将函数 yf(x)的各极值与端点处函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.特别提醒：(1)关注导数的概念、几何意义利
4、用导数的概念、几何意义时要特别注意切点是否已知，若切点未知，则设出切点，用切点坐标表示切线斜率.(2)正确理解单调性与导数、极值与导数的关系当函数在区间(a，b)上为增函数时，f(x)0；f(x0)0 是函数 yf(x)在 x0 处取极值的必要条件.1.导数值为 0 的点一定是函数的极值点.()2.在可导函数的极值点处，切线与 x 轴平行.()3.函数 f(x)在定义域上都有 f(x)0，则函数 f(x)在定义域上单调递增.()4.函数 f(x)xln x 的最小值为e1.()类型一 导数的几何意义及应用例 1 设函数 f(x)13x3ax29x1(a0)，直线 l 是曲线 yf(x)的一条切
5、线，当 l 的斜率最小时，直线 l 与直线 10 xy6 平行.(1)求 a 的值；(2)求 f(x)在 x3 处的切线方程.考点 导数的概念题点 导数的几何意义及应用解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由题意知，a2910，a1 或1(舍去).故 a1.(2)由(1)得 a1.f(x)x22x9，则 kf(3)6，f(3)10.f(x)在 x3 处的切线方程为 y106(x3)，即 6xy280.反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；
6、另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 Q(x1，y1)，由y0y1x0 x1f(x1)和 y1f(x1)求出 x1，y1 的值，转化为第一种类型.跟踪训练 1 求垂直于直线 2x6y10 并且与曲线 yx33x25 相切的直线方程.考点 导数的概念题点 导数的几何意义及应用解 设切点坐标为 P(x0，y0)，函数 yx33x25 的导数为 y3x26x，则切线的斜率为 k3x206x0.又直线 2x6y10 的斜率为 k13，kk(3x206x0)131，解得 x01，y03，即 P(1，3).又 k3，切线方程为 y33(x1)，即 3xy60.类型二 导
7、数中分类讨论思想命题角度1 函数的单调性与导数例 2 已知函数 f(x)ax2bxln x(a，bR).设 a0，求 f(x)的单调区间.考点 分类讨论思想在导数中的应用题点 分类讨论思想在单调性中的应用解 由 f(x)ax2bxln x，x(0，)，得 f(x)2ax2bx1x.(1)当 a0 时，f(x)bx1x.若 b0，当 x0 时，f(x)0，当 0 x1b时，f(x)1b时，f(x)0，函数 f(x)单调递增.所以函数 f(x)的单调递减区间是0，1b，单调递增区间是1b，.(2)当 a0 时，令 f(x)0，得 2ax2bx10.由 b28a0，得x1b b28a4a，x2b b
8、28a4a.显然 x10.当 0 xx2 时，f(x)x2 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增.所以函数 f(x)的单调递减区间是0，b b28a4a，单调递增区间是b b28a4a，.综上所述，当 a0，b0 时，函数 f(x)的单调递减区间是(0，)；当 a0，b0 时，函数 f(x)的单调递减区间是0，1b，单调递增区间是1b，；当 a0 时，函 数 f(x)的 单 调 递 减 区 间 是 0，b b28a4a，单 调 递 增 区 间 是b b28a4a，.反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.(3)分类讨论求函
9、数的单调区间实质是讨论不等式的解集.(4)求参数的范围时常用到分离参数法.跟踪训练 2 已知函数 f(x)x2xa(2ln x)，a0，讨论 f(x)的单调性.考点 分类讨论思想在导数中的应用题点 分类讨论思想在单调性中的应用解 f(x)的定义域是(0，)，则 f(x)12x2axx2ax2x2.设 g(x)x2ax2，二次方程 g(x)0 的判别式 a28.当 0，即 0a0，都有 f(x)0.此时 f(x)是(0，)上的单调递增函数；当 0，即 a2 2时，仅对 x 2时，有 f(x)0，对其余的 x0 都有 f(x)0.此时 f(x)也是(0，)上的单调递增函数；当 0，即 a2 2时，
10、方程 g(x)0 有两个不同的实根 x1a a282，x2a a282，0 x10，yf(x)为(，)上的增函数，所以 yf(x)无极值；当 a0 时，令 f(x)0，得 xln a.当 x(，ln a)时，f(x)0，yf(x)在(ln a，)上递增，故 f(x)在 xln a 处取得极小值 f(ln a)ln a，无极大值.综上，当 a0 时，yf(x)无极值；当 a0 时，yf(x)在 xln a 处取得极小值 ln a，无极大值.(3)当 a1 时，f(x)x11ex.直线 l：ykx1 与曲线 yf(x)没有公共点等价于关于 x 的方程 kx1x11ex在 R 上没有实数解，即关于
11、x 的方程(k1)x1ex(*)在 R 上没有实数解.当 k1 时，方程(*)为1ex0，在 R 上没有实数解；当 k1 时，方程(*)为 1k1xex.令 g(x)xex，则有 g(x)(1x)ex，令 g(x)0，得 x1.当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)1e当 x1 时，g(x)min1e，从而 g(x)1e，.所以当 1k1，1e 时，方程(*)没有实数解，解得 k(1e,1).综上，k 的取值范围为(1e,1.反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义.(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，
12、即 f(x)的正负.(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.跟踪训练 3 设 f(x)ln x，g(x)f(x)f(x).(1)求 g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论 g(x)与 g 1x 的大小关系；(3)求 a 的取值范围，使 g(a)g(x)1a对任意 x0 成立.考点 分类讨论思想在导数中的应用题点 分类讨论思想在极值、最值中的应用解(1)由题设，知 g(x)ln x1x，所以 g(x)x1x2，令 g(x)0，得 x1，当 x(0,1)时，g(x)0，当 x(1，)时，g(x)0，故 g(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1
13、，).因此，x1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以 g(x)的最小值为 g(1)1.(2)g 1x ln xx，设 h(x)g(x)g 1x 2ln xx1x，则 h(x)x12x2.当 x1 时，h(1)0，即 g(x)g 1x；当 x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减.当 0 x1 时，h(x)h(1)0，即 g(x)g 1x；当 x1 时，h(x)h(1)0，即 g(x)g 1x.(3)由(1)，知 g(x)的最小值为 1.因为 g(a)g(x)1a对任意 x0 成立，所以 g(a)11a，即 ln a1，解得 0
14、ae.即 a 的取值范围为(0，e).类型三 导数中的构造函数问题命题角度1 比较函数值的大小例 4 已知定义域为 R 的奇函数 yf(x)的导函数为 yf(x)，当 x0 时，f(x)fxx 0，若a12f 12，b 2f(2)，cln 12 f ln 12，则 a，b，c 的大小关系是.答案 bca解析 令 g(x)xf(x)，则 g(x)(x)f(x)xf(x)，g(x)是偶函数.g(x)f(x)xf(x)，f(x)fxx 0 时，xf(x)f(x)0；当 x0.g(x)在(0，)上是减函数.12ln 21 2，g(2)g(ln 2)g 12.g(x)是偶函数，g(2)g(2)，gln
15、12 g(ln 2)，g(2)gln 12 g 12，即 bcbc解析 设 g(x)ln xx，则 g(x)1ln xx2.令 g(x)0，解得 xe；令 g(x)e，g(x)在(0，e)上递增，在(e，)上递减，而 543e，g(5)g(4)g(3)，即ln 55 ln 44 bc.命题角度2 求解不等式例 5 定义域为 R 的可导函数 yf(x)的导函数 f(x)满足 f(x)2ex 的解集为.答案(0，)解析 设 g(x)fxex，则 g(x)fxfxex.f(x)0，即函数 g(x)单调递增.f(0)2，g(0)f(0)2，则不等式等价于 g(x)g(0).函数 g(x)单调递增，x0
16、，不等式的解集为(0，).反思与感悟 应用构造法解决不等式时，先根据所求结论与已知条件，构造函数，通过导函数判断函数的单调性，再利用单调性得到 x 的取值范围.跟踪训练 5 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)为其导函数.当 x0 时，f(x)xf(x)0，且 f(1)0，则不等式 xf(x)0 的解集为.答案(1，)解析 令 g(x)xf(x).当 x0 时，g(x)xf(x)f(x)xf(x)0，g(x)在(0，)上单调递增.又 f(x)是偶函数，即 f(x)f(x)，则 g(x)(x)f(x)xf(x)g(x)，g(x)是奇函数，g(x)在 R 上单调递增.f(1)0，则
17、g(1)1f(1)0，由 xf(x)0，即 g(x)g(1)，得 x1，xf(x)0 的解集为(1，).命题角度3 利用导数证明不等式例 6 已知 x1，证明：x1ln x.证明 设 f(x)x1ln x，x(1，)，则 f(x)11xx1x，因为 x(1，)，所以 f(x)x1x 0，即函数 f(x)在(1，)上是增函数，又 x1，所以 f(x)f(1)11ln 10，即 x1ln x0，所以 x1ln x.反思与感悟 利用函数的最值证明不等式的基本步骤(1)将不等式构造成 f(x)0(或0 时，22x0 时，exe01，f(x)2(1ex)0.函数 f(x)22x2ex 在(0，)上是减函
18、数，f(x)0 时，22x2ex0，22x2ex.1.若函数 f(x)x3bx2cx 的图象与 x 轴相切于点(1,0)，则函数 f(x)的单调递减区间为.考点 导数的概念题点 导数的几何意义及应用答案 13，1解析 f(x)3x22bxc，由题意可得 f10，f10，即bc10，2bc30，得b2，c1.f(x)3x24x1，由 f(x)0 即 3x24x10，解得13x0)在1，)上的最大值为 33，则 a 的值为.考点 导数的运用题点 利用导数研究函数最值答案 31解析 f(x)x2a2x2x2a2 ax2x2a2，当 x a时，f(x)0，f(x)单调递减，当 ax0，f(x)单调递增
19、，当 x a时，令 f(x)a2a 33，a 32 0)，f(x)x56xx2x3x.令 f(x)0，解得 x2 或 3.当 0 x3 时，f(x)0，故 f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当 2x3 时，f(x)a，则实数 a 的取值范围为.考点 导数的运用题点 利用导数求函数最值答案，72解析 f(x)3x2x2，令 f(x)0，得 3x2x20，解得 x1 或 x23，又 f(1)72，f 23 15727，f(1)112，f(2)7，故 f(x)min72，a12，当 x(2,0)时，f(x)的最小值为 1，则 a 的值为.考点 导数的运用题点 利用导数求函数最值答案 1解析
20、由题意知，当 x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令 f(x)1xa0，得 x1a，当 0 x0；当 x1a时，f(x)0.f(x)maxf 1a ln a11，解得 a1.4.已知 f(x)sin x2x，xR，且 f(2a)0 恒成立，f(x)在 R 上单调递增.f(2a)f(a1)，2aa1，得 a0)的导数f(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1)处的切线方程是.考点 导数的运用题点 利用导数求函数最值答案 15x3y20解析 f(x)2x24ax32(xa)232a2，f(x)max32a25，a0，a1.f(x)2x24x3，f(1)2435，又 f(1)23
21、23133，所求切线方程为 y133 5(x1)，即 15x3y20.6.函数 f(x)ax3bx2cxd 的图象如图，则函数 yax232bxc3的单调递增区间是.考点 导数的运用题点 利用导数研究函数单调性答案 98，解析 不妨取 a1，f(x)x3bx2cxd，f(x)3x22bxc，由图可知，f(2)0，f(3)0，124bc0,276bc0，b32，c18.yx294x6，y2x94，当 x98时，y0.yax232bxc3的单调递增区间为98，.7.将 8 分成两个数之和，使其立方之和最小，则这两个数分别为.考点 导数的运用题点 导数的运用答案 4,4解析 设一个数为 x，则另一个
22、数为 8x，则 yx3(8x)3,0 x8，y3x23(8x)2.令 y0，即 3x23(8x)20，解得 x4.当 0 x4 时，y0；当 40.所以当 x4 时，y 最小.8.若函数 f(x)(mx1)ex 在(0，)上单调递增，则实数 m 的取值范围为.考点 导数的运用题点 利用导数研究函数单调性答案 1，)解析 f(x)mex(mx1)ex(mxm1)ex，由题意知，f(x)0 在 x(0，)上恒成立.也就是 mxm10 在 x(0，)上恒成立，当 m0 时显然不成立，当 m0 时，令 g(x)mxm1，只需 g(0)0，得 m1.即实数 m 的取值范围为1，).9.已知函数 f(x)
23、在定义域0，)上恒有 f(x)f(x).若 af2e2，bf3e3，则 a 与 b 的大小关系为.(用“”连接)考点 导数的运用题点 构造函数求解答案 ab解析 设 g(x)fxex，则当 x0 时，g(x)fxfxexg(3)，即f2e2 f3e3，所以 ab.10.已知 f(x)，g(x)都是定义在 R 上的函数，且fxgxax(a0 且 a1)，f(x)g(x)f(x)g(x)，f1g1f1g152，则 a.考点 导数的运用题点 构造函数求解答案 12解析 令 h(x)fxgx，f(x)g(x)f(x)g(x)，h(x)fxgxfxgxg2x0，函数 yax 在 R 上单调递减，0a1.
24、f1g1f1g152，a1a152，化为 2a25a20，解得 a2 或12.0a0；当 x2，23 时，f(x)0.所以 f(x)的单调递增区间为3，2)和23，1，单调递减区间为2，23.又 f(2)13，f 23 9527，f(3)8，f(1)4，所以 f(x)在区间3,1上的最大值为 13.三、探究与拓展14.已知函数 f(x)sin x，x1，x39x225xa，x1.若函数 f(x)的图象与直线 yx 有三个不同的公共点，则实数 a 的取值集合为.考点 导数的运用题点 导数的综合运用答案 16，20解析 因为 f(x)sin x(x1)与 yx 无交点，故只需函数 f(x)x39x
25、225xa(x1)的图象与直线 yx 有三个不同的公共点即可.设 g(x)x39x224xa，则 g(x)3x218x24.令 g(x)3x218x240，得 x12，x24，且 g(x)在1,2上递增，在2,4上递减，在4，)上递增，g(1)a16，g(2)a20，g(4)a16，故只需 g(1)g(4)a160 或 g(2)a200，解得 a20 或 a16.15.设函数 f(x)13x32ax23a2xb(0a1).(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)若当 xa1，a2时，恒有|f(x)|a，试确定 a 的取值范围；(3)当 a23时，关于 x 的方程 f(x)0 在区间1,3
26、上恒有两个相异的实根，求实数 b 的取值范围.考点 导数的运用题点 导数的综合运用解(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a).令 f(x)0，得 xa 或 x3a.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)极小值极大值所以 f(x)在(，a)和(3a，)上是减函数；在(a,3a)上是增函数.当 xa 时，f(x)取得极小值，f(x)极小值f(a)b43a3；当 x3a 时，f(x)取得极大值，f(x)极大值f(3a)b.(2)f(x)x24ax3a2，其对称轴为 x2a.因为 0a1，所以 2aa1.所以 f(x)在区间a1，a2上是减函数.当 xa1 时，f(x)取得最大值，f(a1)2a1；当 xa2 时，f(x)取得最小值，f(a2)4a4.于是有2a1a，4a4a，即45a1.又因为 0a1，所以45a0，f30，即13b0，b0，1b0，解得 0b13.所以 b 的取值范围是0，13.
