1、北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题（含解析）一、单项选择（共10小题，每小题4分，共40分）1. 如图所示，在正中，均为所在边的中点，则以下向量中与相等的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意先证明且，再利用中点找出所有与向量相等的向量【详解】解：是的中位线，且，则与向量相等的有，故选：【点睛】本题考查了相等向量的定义，利用中点和中位线找出符合条件的所求的向量，属于基础题2. 设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意画出图形，得出点M为平行四边形ABCD的对角线的
2、中点，再由向量的平行四边形法则，可求出和，即可得出答案.【详解】由平行四边形的性质可得，点M为平行四边形ABCD的对角线的中点.所以, 所以故选：D【点睛】本题考查向量的平行四边形法则的应用，属于基础题.3. 在中，则等于( )A. B. C. D. 9【答案】A【解析】【分析】由正弦定理进行求解即可.【详解】，由正弦定理得，则，故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，利用正弦定理是解决本题的关键，属基础题.4. 若复数（）不是纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 且【答案】A【解析】【分析】先解出复数（）是纯虚数时的值，即可得出答案【详解】若复数（）是纯虚数，根据纯虚数的定义有：，则复
3、数（）不是纯虚数，故选A【点睛】本题考查虚数的分类，属于基础题5. ，为虚数单位，若，则的值为（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解【详解】由（m+i）（23i）（2m+3）+（23m）i5-i，得，即m1故选A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题6. 在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将复数化为
4、的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.【详解】【点睛】本题考查复数的计算，意在考查学生的阅读能力，解决问题的能力和计算能力.7. 已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出下面三个结论：若，则；若，则；若是两条异面直线，且，则.其中正确结论的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解详解】由题意，若，则与平行或异面，故错误；若，则与可能平行也可能相交，故错误；若，是两条异面直线，且，则，故正确.故正确的结论只有，故选D.【点睛】主要考查了空间中平行关系判定与证明，其中解答中熟记线面平行、面面平行的判定定理和性质定
5、理，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题8. 在长方体中，点为棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在上取点，使得，连接，可得，得到异面直线与所成角就是相交直线与所成的角，在中，利用余弦定理和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】在长方体中，点为棱上的点，且，如图所示，在上取点，使得，连接，可得，所以异面直线与所成角就是相交直线与所成的角，设，又由在直角中，所以，在直角中，所以，在中，由余弦定理可得,所以所以异面直线与所成角的正弦值，故选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角求解，其中解答中根据几何体的结构特
6、征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了空间向量能力，以及推理与计算能力，属于基础题.9. 完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是( )从件产品中抽取件进行检查；某校高中三个年级共有人，其中高一人、高二人、高三人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为的样本；某剧场有排，每排有个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请名听众进行座谈A. 简单随机抽样，系统抽样，分层抽样；B. 分层抽样，系统抽样，简单随机抽样；C. 系统抽样，简单随机抽样，分层抽样；D. 简单随机抽样，分层抽样，系统抽样；【答案】D【解析】【分析】中，总体数量较
7、少，适合简单随机抽样；中，三个年级有明显差异，适合分层抽样；中，总体数量较多，又有编号，适合系统抽样.【详解】对于，从件产品中抽取件进行检查，总体的数量较少，且个体差异不明显，符合简单随机抽样的特点；对于，该校高中的三个年级，是差异明显的三个部分，符合分层抽样的特点；对于，该剧场有排，每排有个座位，显然总体数量较多，又有编号，符合系统抽样的特点.故选:D.【点睛】三种抽样方法的特点、联系及适用范围:类别共同点各自特点联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样从总体中逐个抽取总体个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按预先定出的规则在各部
8、分中抽取在起始部分取样时，采用简单随机抽样总体个数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成10. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解即可【详解】解：某7个数的平均数为，方差为，则这8个数的平均数为，方差为故选：【点睛】本题考查了平均数和方差的计算应用问题，属于基础题二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11. 的所有能取到的值构的集合为_.【答案】【解析】【分析】将变
9、形为，化简后对进行奇偶讨论即可【详解】，当为奇数时，；当为偶数时，故答案为【点睛】本题考查复数的乘方运算，注意对进行奇偶讨论，是基础题12. 已知关于t的一元二次方程，当方程有实数根时，则实数t的取值范围_.【答案】【解析】【分析】根据方程有实数根，再结合复数相等，建立条件关系可得点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，再结合直线与圆的位置关系即可得解.【详解】解：因为关于t的一元二次方程有实数根，得，由复数相等的充要条件可得：，消得，则所求点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，直线与圆有公共点，则，解得，故答案为.【点睛】本题考查了方程有实数根、复数相等及直线与圆的位置关系，重点考查了运算能力，属中档题.
10、13. 在中，角、的对边分别为、，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边时，周长的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意得出，可得出，再利用辅助角公式可得出周长的最大值.【详解】依题意，结合三角形的内角和定理，得，所以，所以，的周长为，当时，即当时，的周长取得最大值，故答案为.【点睛】本题考查三角形周长最值的计算，解题的关键就是将周长转化为某角为自变量的三角函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.14. 若的面积为,且C为钝角，则B=_；的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围
11、问题.【详解】，即，则，为钝角，故.故答案为，.【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.15. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为正方形，侧棱，则二面角的大小为_.【答案】.【解析】【分析】根据二面角的平面角的概念，证得为二面角的平面角，在直角中，即可求解，得到二面角的大小.【详解】由题意，四棱锥中，底面是边长为的正方形，所以，所以，所以，同理，因为，所以平面，则，又，且，所以平面，则，所以为二面角的平面角，在中，所以，所以二面角
12、的大小为.【点睛】本题主要考查了二面角的求解，其中解答中熟记二面角的平面角的定义，以及熟练应用线面位置关系的判定和性质，得到为二面角的平面角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题（共7小题，共90分）16. 如图，在三棱锥中，为中点.（1）求证：平面；（2）若点是棱的中点，求异面直线与的夹角.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由等腰三角形三线合一得出，连接，计算出三边边长，利用勾股定理证明出，然后利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面；（2）取中点，中点，连接、，由中位线的性质可得出，由此可得出异面直线与所成的角为或其补角，然后计算出三边边长，利用余弦
13、定理求出，即可得出答案.【详解】（1），为的中点，且.连接，.且有，.，、平面，平面；（2）取中点，中点，连接、，、分别为、的中点，且.，且，为的中点，则.又为的中点，且.所以，异面直线与所成的角为或其补角.平面，平面，易知，且.在中，点是斜边的中点，则.在中，.由余弦定理得.因此，异面直线与所成的角为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的计算，在计算异面直线所成的角时，一般利用平移直线法，构造合适的三角形，利用余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，,，面面,为等边三角形，为的中点(1)求证：平面；(2)若是的中点，求三棱锥的体
14、积【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）由，结合线面垂直的判定即可得证；（2）由是的中点，所以，则将求三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积，再由条件即可得解.【详解】(1)证：因为为等边中边的中点，所以,又因为在菱形中，所以为等边三角形，为的中点，所以,而,所以平面.(2)解：由(1)知，面面,所以底面，因为等边的边长为2，所以,易知为边长为2的等边三角形，所以三棱锥的体积为：,因为是的中点，所以，所以三棱锥的体积为【点睛】本题考查了线面垂直的判定及三棱锥体积的求法，重点考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.18. 某电视台为宣传本省，随机对本省内1565岁的人群抽取了人，回答问题“
15、本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示.组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组第2组18第3组第4组第5组（1）分别求出的值；（2）从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2、3、4组每组各抽取多少人？（3）指出直方图中，这组数据的中位数是多少（取整数值）？【答案】（1）， （2）第2组： (人)；第3组： (人)；第4组： (人) （3）42【解析】【分析】（1）先算出第4组的总人数，再根据频率分布直方图得到第4组的频率，从而可计算总人数，最后计算出相应组人数后利用统计结果表可得的值.（2）先算出第2、3、4组回答正确的总人数，再按比例抽取即可.（3
16、）根据频率分布直方图可知中位数满足，从而可得的近似值.【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知，.（2）第2、3、4组回答正确的共有54人利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：(人)；第3组：(人)；第4组： (人)（3）设这组数据的中位数为，由频率分布直方图可得前两组的频率之和为，最后两组的频率之和为，故在第三组中，且，解得，故.【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，注意频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，过中位数且垂直于横轴的直线平分面积，各矩形的高是.19. 设,关于x方程的两个根分别是和.（1）当=1+i时，求与m、
17、n的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）将代入方程整理，可得关于的方程组，求出，代入方程，利用根与系数的关系求出；（2）将代入，求出和，进而可求出的值.【详解】（1）由题意知是关于x的方程的一个根，整理得，即关于x的方程为，依据根与系数的关系得：，综上所述，结论是：（2）当时，方程为,则方程的两根为即，设，则，综上所述，结论是：的值是4.【点睛】本题考查复数范围内二次方程的解的问题，是基础题.20. (1)设集合，且，求实数m的值.(2)设，是两个复数，已知，且是实数，求.【答案】(1) 或或 (2) 或【解析】【分析】（1）解方程得到集合，再分别讨论和两种情况
18、，即可得出结果；（2）先设，根据题中条件，得到，即可求出结果.【详解】解：(1)由解得：或，又当时，此时符合题意. 当时，则.由得， 所以或解得：或综上所述：或或 (2)设，即 又，且，是实数， 由得，或，或【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，以及复数的运算，熟记子集的概念，以及复数的运算法则即可，属于常考题型.21. 如图，在ABC中，边AB=2，且点D在线段BC上，(I)若，求线段AD的长；(II)若BD=2DC，求ABD的面积.【答案】（I）（II）【解析】【分析】(I)由可得,由可得,然后在三角形ABD中用正弦定理可得AD;(II)根据得,再根据面积公式和已知条件可得的值,
19、然后在三角形ABC中用余弦定理求得BC的值,从而可得BD的值,最后用面积公式可得ABD的面积.【详解】（I）由可得由,可得,在三角形ADB中,由正弦定理可得,所以.（II）由得，所以，因为，所以，在中，由余弦定理得，即，可得或（舍去），所以.【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理以及三角形的面积公式,本题属于中档题.22. 已知函数求函数的单调递增区间；在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】利用二倍角，辅助角公式化简，结合三角函数的单调性即可求解的单调递增区间；根据，求解，利用余弦定理求解，即可求解的面积【详解】解：函数令，得，的单调递增区间为；由，即，是锐角三角形，可得余弦定理：，即解得：的面积【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键
