1、第7课时等比数列的前n项和1.掌握等比数列的前 n项和公式的推导方法.2.应用等比数列的前 n项和公式解决有关等比数列的问题.3.会求等比数列的部分项之和.印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨班达依尔,并问他想得到什么样的奖赏.大臣说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,在第三个小格内给四粒,照这样下去,每一小格内都比前一小格内的麦子数增加一倍,直到把每一小格都摆上麦子为止,并把这样摆满棋盘上六十四格的麦子赏给您的仆人.”国王认为这位大臣的要求不算多,就爽快地答应了.国王能实现他的诺言吗? 问题1:等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=;当q1时
2、,Sn=.问题2:我们来帮国王计算下要多少粒麦子,把各格所放的麦子数看成是一个数列an,它是一个a1=1,q=2,n=64的等比数列,问题转化为求数列an的前64项的和,可求得Sn=264-1,而264-1这个数很大,超过了1.841019,所以国王根本实现不了这个诺言.问题3:用错位相减法来推导等比数列的前 n项和公式:设等比数列an的公比为q,它的前n项和是Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1.q得qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn.-得(1-q)Sn=.当q=1时,该数列是常数列,Sn=;当q1时,该等比数列的前n项和公式为:Sn=.即Sn=问题4:用等比数列的定义推
3、导等比数列的前 n项和公式:由等比数列的定义,有=q.根据等比的性质,有=q.(1-q)Sn=a1-anq,即Sn=1.在等比数列an(nN+)中,若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为().A.2-B.2-C.2-D.2-2.等比数列的前4项和为1,前8项和为17,则这个等比数列的公比q等于().A.2B.-2C.2或-2D.2或13.等比数列an的公比q0,已知a2=1,an+2+an+1=6an,则an的前4项和S4=.4.求等比数列1,2a,4a2,8a3,的前n项和Sn.考查等比数列的前 n项和公式设数列an是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.考查分组
4、求和法已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=2(+)=8(+).(1)求an的通项公式;(2)设bn=+log2an,求数列bn的前n项和Tn.对变量的分类讨论Sn是无穷等比数列an的前n项和,且公比q1,已知1是S2和S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求此数列an的前n项和公式.在等比数列an中,已知S3=,S6=,求an.求数列1+,2+,3+,的前n项和Sn.等差数列an中,公差d0,a2是a1与a4的等比中项,已知数列a1,a3,成等比数列.(1)求数列kn的通项kn;(2)求数列的前n项和Sn.1.设Sn为等比数列an的前n项和,8a2
5、+a5=0,则等于().A.11B.5C.-8D.-112.在各项都为正数的等比数列an中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于().A.33B.72C.84D.1893.已知等比数列an的首项为8,Sn是其前n项和,某同学经计算得S2=24,S3=38,S4=65,后来该同学发现其中一个和算错了,则算错的是,该数列的公比是.4.在等比数列an中,若a1=,a4=-4,求公比q和|a1|+|a2|+|an|.(2013年全国大纲卷)已知数列an满足3an+1+an=0,a2=-,则an的前10项和等于().A.-6(1-3-10)B.(1-310)C.3(1-3-10)D.3(
6、1+3-10)考题变式(我来改编):第7课时等比数列的前n项和知识体系梳理问题1:na1 问题2:问题3:a1-a1qnna1问题4:基础学习交流1.B设数列an的公比为q,则q3=,q=,数列an的前10项和为=2-.2.C=q4,所以q=2.3.由an+2+an+1=6an,得qn+1+qn=6qn-1,即q2+q-6=0,解得q=2或-3(舍去),又a2=1,所以a1=,S4=.4.解:公比为q=2a,当q=1,即a=时,Sn=n;当q1,即a时,则Sn=.Sn=重点难点探究探究一:【解析】当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;当q1时,=3a1q2,因为a10,所以1-q3=
7、3q2(1-q),即1+q+q2=3q2,解得q=-.综上所述,公比q的值为1或-.【小结】对于等比数列来讲,必须要考虑q=1和 q1两种情况.探究二:【解析】(1)设等比数列an的公比为q,则an=a1qn-1,由已知得a1+a2=2(+)=,a1a2=2,由a1+a2=8(+)=,a3a4=8q2,又a10,q0,解得an=2n-1.(2)由(1)知bn=+log2an=4n-1+(n-1),Tn=(1+4+42+4n-1)+(0+1+2+3+n-1)=+=+.【小结】求和时要注意分组求和法、错位相减法及裂项求和法等方法的应用.探究三:【解析】(1)根据已知条件整理得解得3S2=2S3=6
8、,即(2)q1,则可解得q=-,a1=4,Sn=-(-)n.【小结】要熟记等比数列的前n项和公式.思维拓展应用应用一:S62S3,q1,由得1+q3=9,q=2,代入得a1=,an=a1qn-1=2n-2.应用二:由题意可知,该数列的通项公式为an=n+,Sn=(1+)+(2+)+(n+)=(1+2+3+n)+(+)=+1-.应用三:(1)由已知得(a1+d)2=a1(a1+3d),解得a1=d或d=0(舍去),所以数列an的通项是an=nd.因为数列a1,a3,成等比数列,即数列d,3d,k1d,k2d,knd,成等比数列,所以公比q=3,k1d=32d,即k1=9,所以数列kn是以k1=9
9、为首项,3为公比的等比数列,故kn=93n-1=3n+1.(2)Sn=+,Sn=+,由-,并整理得Sn=(1-)-=-.基础智能检测1.D由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0,q=-2,则=-11.2.C由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3,得q2+q-6=0,q=2(负根舍去).a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22S3=84.3.S2设等比数列的公比为q,若S2计算正确,则有q=2,但此时S338,S465与题设不符,故算错的就是S2,此时,由S3=38可得q=或q=-;当q=时,S4=65也正确;当q=-时,S4不正确,舍去.所以q=.4.解:由a4=a1q3=q3=-4,可得q=-2,因此,数列|an|是首项为,公比为2的等比数列,所以|a1|+|a2|+|an|=2n-1-.全新视角拓展C由已知得=-,则数列an为公比是-的等比数列,a2=-,a1=4,则数列an前10项的和S10=3(1-3-10).思维导图构建三个两个
