1、第23讲 空间角与距离（2）【复习目标】1、熟练转化空间角与空间距离2、掌握运用空间向量求解有关空间角与距离【课前热身】1、在正三棱锥S-ABC中，E为SA的中点，F为ABC的中心，SA=BC，则异面直线与AB所成的角是 （ ）A、90 B、60 C、45 D、302、正四棱锥PABCD的高为PO，AB=2PO=2cm，则AB与侧面PCD的距离为：( ) A、cm B、2cm C、cm D、3cm3、在底面边长为的正三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别为侧棱BB1、CC1上的点且EC=BC=2BD，则截面ADE与底面ABC所成的角为 A 、30B、45C、60D、754、空间四边形ABCD中
2、，E、F分别是AD、BC中点，若AB1，CD，ABCD,则EF与CD所成的角为_5、半球内有一内接正方体, 正方体的一个面在半球的底面圆内. 若正方体的棱长为, 则半球的体积为 .【例题探究】例1、如图，在四面体P-ABC中， PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，F是线段PB上一点，点E在线段AB上，且EFPB.（1）求证：PB平面CEF；（2）求二面角BCEF的大小。例2. 在四棱锥PABCD中，ADAB，CDAB，PD底面ABCD，,直线PA与底面ABCD成60角，点M、N分别是PA、PB的中点（1）求二面角PMND的大小；（2）如果CDN为直角三角形，求的值例3、如图已知四棱锥P
3、ABCD，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，A=90且AB/CD，AB=CD.（1）点F在线段PC上运动，且设为何值时，BF/ 平面PAD？并证明你的结论；（2）二面角FCDB为45，求二面角BPCD的大小；（3）在（2）的条件下，若AD=2，CD=3，求点A到平面PBC的距离.【方法点拨】1、“三垂线法”是找二面角的平面角常用方法，进而将平面角的计算转化为解直角三角形；2、借助空间的角的大小可以得到三角形的边的关系，通过向量的坐标运算求角和距离也是一个重要的方法；3、灵活运用体积法求点面距离，利用空间向量求解空间角与距离时关键是建立恰当空间坐标系，准确得出各点、各向量的坐标，再用相关
4、公式求解空间角与距离。冲刺强化训练(23)班级 姓名 学号 成绩 1将菱形ABCD沿对角线BD折起，A点变为A，当三棱锥ABDC体积最大时，直线AC与平面BCD所成的角为： （ ）A、90 B、60 C、45 D、302、在一个45的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为 （ ）A、30 B、45 C、60 D、903、将半径都为1的4个铅球完全装人形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小值为（ ）A、B、C、D、4、如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是 （）A圆B抛物
5、线C双曲线D直线5、一个棱长都为a的正三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上, 则此球的表面积为 ( )A、 B、 C、 D、6、设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_7、如图，PA矩形ABCD所在平面，PA=AD=a， M、N分别是AB、PC的中点，（1）证明平面MND平面PCD；（2）若AB=，求二面角N-MD-C的大小。8、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（1）证明：面PA
6、D面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。9、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底长为a，点M在边BC上，AMC1是以点M为直A1B1C1ABCM角顶点的等腰直角三角形： 求证：点M为边BC的中点 求点C到平面AMC1的距离 求二面角MAC1C的大小第23讲空间角与距离（2）【课前热身】1、C 2、A 3、B 4、30度5、18【例题探究】例1: （I）证明：PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可证PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形。故PA平面ABC又而故CFPB,又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知P
7、BCE, PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角。二面角BCEF的大小为例2解法一：（1）PMD为二面角PMND的平面角。4分 计算得二面角PMND的大小为120。8分 （2）若CDN90，与题意不符10分若DCN90，可算得12分若DNC90，可算得15分 解法二：用向量方法(略)例3：（1）当 证明：取PD中点E，则EF/CD，且四边形ABFE为平行四边形. BF/AE. 又AE平面PAD BF/平面PAD （2）平面ABCD，即
8、是二面角的平面角 为等腰直角三角形，平面PCD 又BF/AE，平面PCD. 平面PBC，平面PCD平面PBC，即二面角BPCD的大小为90. （3）在平面PCD内作EHPC于点H，由平面PCD平面PBC且平面PCD平面PBC=PC知：EH平面PBC. 在，在代入得：即点E到平面PBC的距离为 又点A到平面PBC的距离为【冲刺强化训练23】1、C 2 、A 3、 C 4、B 5、A 6、 7方法一：M、N分别是点AB、PC的中点，可得=1/2 （+）由于=1/2（+）=1/2（+）=0 =1/2 （+）（）=1/2（+）（-）=0MNCD MNDP MN平面PCD =平面MND平面PCD底面的法
9、向量为，得平面MND的法向量为=+ =（+）（）= += a2+a2=0=（+）1/2 （+）=1/2 （|2+）=1/2 （a2+a2）=0=M= 1= +cos= =二面角NMDC为60解法二：连PM、MC易得PM=MC 又N为PC的中点，MNPC取DC的中点为Q。连MQ ，NQ则NQ/PD MQ/ADPA面ABCD，又DACD由三垂线定理的逆定理得PDCDNQCD，MQCDCD面MNQ CDMNMN平面PCD ，MN 面MND 平面MND平面PCD。 连AC取AC的中点O，则NO平面ABCD过O作OEDM 连NE 由三垂线定得得NEDMNEO为二面角NMDC的平面角其中NO=PA=a；A
10、C= a DM= a OE= tanNEO= NEO=60，即二面角NMDC为608方案一：（）证明：PA面ABCD，CDAD，由三垂线定理得：CDPD.因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，CD面PAD.又CD面PCD，面PAD面PCD.（）解：过点B作BE/CA，且BE=CA，则PBE是AC与PB所成的角.连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形. 由PA面ABCD得PEB=90在RtPEB中BE=，PB=， （）解：作ANCM，垂足为N，连结BN.在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB，AMCBMC,BNCM，故ANB为所求二面角的平
11、面角.CBAC，由三垂线定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，ANMC=，. AB=2，故所求的二面角为方法二：因为PAPD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（）证明：因由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD面PCD.（）解：因（）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使要使为所求二面角的平面角.9 解法一： 设=，=
12、，=令=（0）=依题得：=0 ，=0，=1/2 a2=（）（）=22+ =22 =（2/2）a2 =0所以=1/2 ，即点M为BC的中点 设点H为点C在平面AMC1上的射影令= 且x+y+z=1，由又由得，点C到平面AMC1的距离为a 平面AMG的法向量为平面AC1C的法向量为，其中N为AC的中点， 则二面角MAC1C为45解法二： C1C面ABC； C1MAM由三垂线定理的逆定理解CMAM ABC为正三角形，AM为ABC的中线，即点M为BC的中点利用等积法VcAMC1=Vc1AMC 可得C到平面AMC1的距离为 a过M作MEAC，垂足为E，过E作EFAC1交AC1于点F，连MF，则EFM为二面角MAC1C的平面角，易得EFM=45
