1、第22讲 空间角与距离（1）【复习目标】1、理解各种空间角及空间距离的概念；2、掌握求空间角与距离的基本方法。【课前热身】1为两个确定的相交平面，为一对异面直线，下列条件： ； 且的距离等于的距离。其中能使所成的角为定值的有 ( )A、0个 B、1个 C、2个 D、4个2在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是 （ ）A 、 B、 C 、 D 、 3若二面角为，直线，则所在平面内的直线与m所成角的取值范围是_；4已知正四棱锥的所有棱长均相等，则侧面与底面所成二面角的余弦值为_【例题探究】例1 在正四棱柱中， P为B
2、1C1的中点（1）求直线AC与平面ABP所成的角；（2）求异面直线AC与BP所成的角；（3）求点B到平面APC的距离A1B1例2 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，ABBC，CB=3，AB=4，A1AB=60。（1）求证：平面CA1B平面A1ABB1；C1（2）求直线A1C与平面BCC1B所成角的正切值；（3）求点C1到平面A1CB的距离。BAC例3如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.（1） 求异面直线与所成的角； （2）求平面与平面所成的二面角；（3）求点到平面的距离.【方法点拨】1、求角与距离的关键是化归：空间角化为
3、平面角，空间距离化为两点间距离，最终化为求三角形中边角；2、求线面角关键是找、作线与面垂直，通常是先寻找面面垂直，得到线面垂直；3、二面角的平面角的基本作法有：定义法，三垂线定理法，垂面法。点到面的距离通常在面面垂直背景下向线作垂线得到线面垂直得射影。另空间距离和角的求解应遵循：一作二证三计算。冲刺强化训练(22)班级 姓名 学号 成绩 日期 月 日1、空间四边形中，若，则与平面 所成角的余弦值 ( )ABCD2、在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A60 B90 C105 D753在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点
4、A到平面A1BC的距离为（ ）BCDAA、B、C、D、 4、将正方体的纸盒展开（如图），直线AB、CD在原正方体中的位置关系是（ ）A、平行 B 、垂直 C、且成角 D 、 异面且成角5、锐二面角-l-的棱l上一点A，射线AB，且与棱成45角，与成30角，则二面角-l-的大小是（ ）A、30 B、45 C、60 D、906、在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD。（1）证明AB平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小。7、如图,正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为。（1） 求侧面PAD 与底面ABC
5、D所成二面角的大小 ；（2） 若E 是PB 中点，求异面直线PD与AE所成的角的正切值 ；PEDCBA（3）在侧面PAD上寻找一点F使EF侧面PBC，试确定F的位置并证明。 8已知PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点。（1） 求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；（2） 求证平面MND平面PCD；（3） 求当AB的长度变化时异面直线PC与AD所成角的取值范围。第22讲空间角与距离（1）【课前热身】1 B 2 C 3 4 【例题探究】例1（1）AB平面BC1，PC平面BC1，ABPC 在矩形BCC1B1 中，BC=2，BB1=1，P为B1C1
6、的中点，PCPB PC平面ABP，CAP为直线AC与平面ABP所成的角 PC=，AC=，在RtAPC中，CAP=300直线AC与平面ABP所成的角为300 （2）取A1D1中点Q，连结AQ、CQ，在正四棱柱中，有AQBP，CAQ为异面直线AC与BP所成的角 在ACQ中，CAQ=600 异面直线AC与BP所成的角为600 （也可用向量法） （3）过点B作BHAP于H， 由题（1） PC平面ABP，PCBHBH平面APC BH的长即为点B到平面APC的距离在RtABP中，AB=2，例2：（1）证：因为四边形BCC1B1是矩形，BCBB1，又ABBC，BC平面A1ABB1。BC平面CA1B，平面CA
7、1B平面A1ABB1。（2）解：过A1作A1DB1B于D，连接DC，BC平面A1ABB1，BCA1D，A1D平面BCC1B1，故A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角。在矩形BCC1B1中，DC=，因为四边形A1ABB1是菱形，A1AB=60，CB=3，AB=4，A1D=，tanA1CD=。（3）B1C1BC1，B1C1平面A1BC，C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离。连结AB1，AB1与A1B交于点O，四边形A1ABB1是菱形，B1OA1B，CA1B平面A1ABB1，B1O平面A1BC，B1O即为C1到平面A1BC的距离。B1O=，C1到平面A1BC的距离为。例3：
8、在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系由已知可得，又平面，从而与平面所成的角为，又，从而易得（1）因为所以=易知异面直线所成的角为（2）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为（3）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，所以距离=所以点到平面的距离为冲刺强化训练（22）1 、 B 2 、 B 3、 B 4 、 D 5、 B 6、 7、方法一：（）证明：（）解：取VD的中点E，连结AE，BEVAD是正三角形AEVD，AF=ADAB平面VAD ABAE又由三垂线定理知BEVD因此，是所求二面角的平面角于是，即得所求二面角的大小为方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。（）证明：不妨设，则，由，得又，因而与平面内两条相交直线都垂直。平面（）解：设为中点，则由，得，又因此，是所求二面角的平面角。解得所求二面角的大小为8(1)二面角大小为（2）（3）M是AD中点，N是BC中点，BC与平面PMN垂直，平面PMN与平面PBC垂直，取AM中点为F，则EF垂直平面PBC9(1) （2）证MN与平面PCD垂直，得面面垂直。(3)
