1、2005 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修 II）第 I 卷（共 60 分）参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么()()()P ABP AP B如果事件 A、B 相互独立，那么()()()P A BP A P B一选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1）221111iiii（A）i；（B）i；（C）1；（D）1（）（2）函数10 xyxx的反函数图像大致是（）（A）（B）C）（D）（3）已知函数sincos1212yxx，则下列判断正确的是（）（A）此函数的最小周期为 2，其图像的一个对
2、称中心是,012（B）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是,012（C）此函数的最小周期为 2，其图像的一个对称中心是,06（D）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是,06（4）下列函数中既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（）（A）()sinf xx（B）()1f xx（C）1()2xxf xaa（D）2()ln 2xf xx（5）如果3213nxx的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中31x的系数是（）（A）7 （B）7（C）21 （D）21（6）函数21sin(),10,(),0.xxxf xex ，若 f(1)+f(a)=2 则a 的所有可能值为（）（A）1 （B
3、）22（C）21,2（D）21,2（7）已知向量 a、b，且2,56ABab BCab，72CDab，则一定共线的三点是（）（A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D（8）设地球的半径为 R，若甲地位于北纬45东经120，乙地位于南纬75 东经120，则甲、乙两地的球面距离为（A）3R；（B）6 R；（C）56 R；（D）23 R（）xy1oxy1oxyo1xyo1（9）10 张奖券中只有 3 张有奖，5 个人购买，至少有 1 人中奖的概率是（）（A）310（B）112（C）12（D）1112（10）设集合 A、B 是全集U 的两个子集，则是UC ABU的（）（A）
4、充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（11）01a，下列不等式一定成立的是（）（A）(1)(1)log(1)log(1)2aaaa；（B）(1)(1)log(1)log(1)aaaa（C）(1)(1)log(1)log(1)aaaa(1)(1)log(1)log(1)aaaa；（D）(1)(1)log(1)log(1)aaaa(1)(1)log(1)log(1)aaaa（12）设直线:220lxy关于原点对称的直线为l，若l 与椭圆2214yx 的交点为 A、B、，点 P 为椭圆上的动点，则使 PAB的面积为 12的点 P 的个数为（）（A）1 （B）2
5、（C）3 （D）4第 II 卷（共 90 分）二填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案须填在题中横线上.（13）2222lim_(1)nnnnCCn.(14)设双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为 F，右准线l 与两条渐近线交于 P、Q 两点，如果 PQF是直角三角形，则双曲线的离心率_e.(15)设 x、y 满足约束条件5,3212,03,04.xyxyxy 则使得目标函数65zxy的值最大的点(,)x y 是.(16)已知mn、是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题：若/,mn则/mn；若,/,m nm则/；若,/mnm n，则/,m n 是两条异
6、面直线，若/,/,/,/mmnn，则/上面的命题中，真命题的序号是_（写出所有真命题的序号）三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分 12 分）已知向量(cos,sin)m和2sin,cos,2n，且8 2,5mn求cos 28的值.(18)(本小题满分 12 分)袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 1,7现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止所需要的取球次数.（I）求袋中所有的
7、白球的个数；（II）求随机变量 的概率分布；（III）求甲取到白球的概率.（19）（本小题满分 12 分）已知1x 是函数32()3(1)1f xmxmxnx 的一个极值点，其中,0m nR m，（I）求m 与 n 的关系式；EFADCD1A1C1B1B（II）求()f x 的单调区间；（III）当1,1x 时，函数()yf x的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求m 的取值范围.(20)(本小题满分 12 分)如图，已知长方体1111,ABCDABC D12,1,ABAA直线 BD 与平面 11AA B B 所成的角为30，AE 垂直 BD 于 E，F 为11A B 的中点.（I）求异面
8、直线 AE 与 BF 所成的角；（II）求平面 BDF 与平面1AAB 所成的二面角；（III）求点 A 到平面 BDF 的距离.（21）（本小题满分 12 分）已知数列 na的首项15,a 前n 项和为nS，且*125()nnSSnnN （I）证明数列1na 是等比数列；（II）令212()nnf xa xa xa x，求函数()f x 在点1x 处的导数(1)f 并比较2(1)f 与22313nn的大小.(22)(本小题满分 14 分)已知动圆过定点,02p，且与直线2px 相切，其中0p.（I）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（II）设 A、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA
9、 和OB 的倾斜角分别为 和 ，当,变化且为定值(0)时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.yAxoB,02pF MN2px 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修 II）参考答案一、选择题题号123456789101112答案DBBDCCADDAAB二、填空题13、3214、2e 15、2,316、三.解答题：17.解法一：cossin2,cossinmn22cossin2(cossin)mn=42 2(cossin)=44cos4=2 1 cos4由已知8 2|,5mn得7cos425.又 2cos2cos()1428，所以 216cos()28
10、25,2，598288，cos028，4cos 285 解法二：2222|()2mnmnmm nn=22|2mnm n =2222(cossin)(2sin)2cos(2sin)sincos =42 2(cossin)=28cos().28 由已知 8 2|,5mn得4cos 285 2,598288，cos028,4cos.285 18.（考查知识点：概率及分布列）解:(I)设袋中原有n 个白球,由题意知 227(1)1(1)27 677 62nn nCn nC 所以 n(n-1)=6，解得3n(舍去2n )即袋中原有 3 个白球.(II)由题意,的可能取值为 1,2,3,4,5 3(1);
11、7P 4 322;7 67P 4 3 26(3);7 6 535P 4 3 2 33(4);7 6 5 435P 4 3 2 1 31(5);7 6 5 4 335P 所以，取球次数 的分布列为:12345P3727635335135(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第 5 次取球,记”甲取到白球”为事件 A,则P(A)=P(“=1”，或“=3”，或“=5”).因为事件“=1”、“=3”、“=5”两两互斥，所以36122()1357353535P APPP19.（考查知识点：函数结合导数）(I)解2()36(1)f xmxmxn因为1x 是函数()f x 的一个极值点,所以
12、(1)0f,即36(1)0mmn，所以36nm（II）由（I）知，2()36(1)36f xmxmxm=23(1)1m xxm.当0m 时，有211m，当 x 变化时，()f x 与()fx的变化如下表：x2,1m21m21,1m11,()fx00000()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知，当0m 时，()f x 在2,1m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)上单调递减.（III）解法一：由已知，得()3fxm，即22(1)20mxmx0m，222(1)0 xmxmm即2122(1)0,1,1xxxmm （*）设212()2(1)g xxxmm，其函数图象的开口向上
13、，由题意（*）式恒成立，22(1)0120(1)010gmmg 434,310mm 又m 0403m.即 m 的取值范围为403m解法二：由已知，得()3fxm，即23(1)(1)3m xxmm，0m，2(1)(1)1xxm（*）1*x=1 时，（*）式化为 01 恒成立，0m。2*x1 时，1,1,210 xx （*）式化为 21(1)1xmx,令 t=x-1，则 t-2,0，记 g(t)=t-1t,则 g(t)在区间-2,0是单调增函数。g(t)min=g(-2)=13222 由（*）式恒成立，必有 234,23mm 又 m0，只要证明 2n2n+1。事实上，1*当 n=3 时，2323+
14、1 不等式成立，2*设 n=k 时（k3），有 2k2k+1 则 2k+12(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1).k3，2k-10.从而 2k+12(k+1)+1+(2k-1)2(k+1)+1 即 n=k+1 时，亦有 2n2n+1.综上 1n、2n 知，2n2n+1 对 n3，nN*都成立。n3 时，有22(1)2313.fnn）综上 n=1 时，22(1)2313;fnnn=2 时，22(1)2313;fnnn3 时，22(1)2313.fnn 22、（考查知识点:圆锥曲线）解：（I）如图，设 M 为动圆圆心，,02p为记为 F，过点 M 作 直线2px 的垂线，垂足为
15、N，由题意知：MFMN即动点 M 到定点 F 与定直线2px 的距离相等，由抛物 线的定义知，点 M 的轨迹为抛物线，其中,02pF 为焦 点，2px 为准线，所以轨迹方程为22(0)ypx P（II）如图，设 1122,A x yB x y，由题意得12xx（否则）且12,0 x x 所以直线 AB 的斜率存在，设其方程为 ykxb，显然221212,22yyxxpp，将 ykxb与22ypx联立消去 x，得2220kypypb由韦达定理知121222,ppbyyyykk (*)1*当2 时，即2时，tantan1 121212121,0yyx xy yxx，221212204y yy yp
16、，2124y yp 由（*）式知：224pbpk，2.bpk 因此直线 AB 的方程可表示为：2ykxpk，即(2)0k xpy，直线 AB 恒过定点2,0p 2*当2 时，由，得tantan()=tantan1tantan=121212121yyxxy yx x=121222221ppyyppyy=122122()4p yyy yp 将（*）式代入上式整理化简，得：2tan2pbpk，22tanpbpk，此时，直线 AB 的方程可表示为：ykx 22tanppk 即2(2)0tanpk xpy直线 AB 恒过定点22,tanpp 由 1*、2*知，当2 时，直线 AB 恒过定点2,0p，当2 时直线 AB 恒过定点22,tanpp。
