1、浦东新区2014年5月高考练习卷 数学（理） 2014.05注意：1答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 不等式的解集是_.2. 设集合,则=_.3.三角形的三边之比为,则此三角形的最大内角是_.4. 若纯虚数满足（其中是虚数单位，），则_.5.已知双曲线的两个焦点分别是、，点在双曲线上，且垂直于轴，则此双曲线的渐近线方程是_. 6.某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60
2、元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是_（精确到）.7. 双曲线的渐近线与圆相切，则r=_.8.已知复数（其中是虚数单位）,若在复平面上对应的点位于第三象限,则实数的取值范围是_.9.已知，则的值为_10.已知是虚数单位，集合，（可以等于)，从集合中任取一元素，则该元素为实数的概率为_.11. 如图1所示的正方体的棱长为1,沿对角面(图中阴影部分)将其分割成两块,重新拼接成如图2所示的斜四棱柱,则所得的斜四棱柱的表面积是_.12.在极坐标系中，已知点，点是曲线上任意一点，设点到直线的距离为，则的最小值为_.13. 有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一
3、粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，四次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有_粒.14. 以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角，使，则直线、的斜率乘积为_.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.下列命题中错误的是（ ） A正棱锥的所有侧棱长相等； B圆柱的母线垂直于底面； C直棱柱的侧面都是全等的矩形； D用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形16已知是
4、定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足的实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 17曲线与直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 、，则等于 ( ) A B C D 18. 若当为圆上任意一点时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A B C D三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知一个圆柱和一个圆锥等底等高,如图,点O为底面的圆心，点P为圆锥的顶点.若圆柱的高等于它的底面直径，（1）求证:圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成
5、的角都相等;（2）求圆柱的全面积和圆锥的全面积的比值.20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.已知函数，（1）求的最小正周期及判断函数的奇偶性；（2）在中，.若对任意实数恒有,求面积的最大值.21（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.已知展开式的各项依次记为设（1）若的系数依次成等差数列，求的值；（2）求证：对任意，恒有.22（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.抛物线的方程为，过抛物线上一点()作斜率为、的两条直线分别交抛物线于、两点（、三点互不相同)，且满足. (1
6、) 求抛物线的焦点坐标和准线方程；(2) 当时，若点的坐标为，求为钝角时点的纵坐标的取值范围；(3) 设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上.23. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.已知是由非负整数组成的数列，且是存在的, 满足，n=3，4，5， .（1）求；（2）证明：（n=3,4,5，）;（3）求的通项公式及前n项和.浦东新区2014年5月高考练习卷 数学（理） 2014.0513. 有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，四次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有
7、_粒.解：称一次可以分出三堆珠子中哪一堆里有一粒重量比其它的轻. 方法是将任意二堆放到天平上，若那一堆轻，就在这一堆里，若二堆一样，则在这三堆里. 所以这堆珠子最多有81粒.第一次称，将81粒平均分成三堆，每堆27粒，按上述方法可 判断出在哪一堆里，再将27粒平均分成三堆，每堆9粒，重复4次就可找到这粒最轻的珠子.14. 以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角，使，则直线、的斜率乘积为_.解：由题意可设椭圆方程为，又设 因为M点在该椭圆上，所以，则又因为A、B点在也该椭圆上，所以，所以，即直线、的斜率乘积为同理当椭圆方程为时直
8、线、的斜率乘积为.本题的表述应说清楚O是坐标原点，且要交待椭圆的位置是以x轴、y轴为对称轴浦东新区2014年5月高考练习卷 数学（理）答案及评分细则 2014.05一、填空题-结果等价即可得分1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. .7. . 8. . 9. 10. . 11. . 12. 13. 81. 14. . 二、选择题15.C 16C 17A 18.D 三、解答题-其它解法相应得分19【解答】设圆柱的高为h，底面半径为r，圆锥的母线长为，h=2r.（1）因为圆柱的所有母线都平行于OP，圆锥的任意一条母线与轴OP组成全等的直角三角形，如图，为圆柱的母线和圆锥的母线所成的
9、角.2分在中，则4分所以，圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等，为.6分（2），8分,9分10分故，。12分20. 3分所以，的最小正周期为4分所以，函数是非奇非偶函数。6分（2）由 得 因为是的内角，所以， 8分由，得两边平方，整理得， 对任意实数恒成立 所以 10分 得 则有 且 所以 12分（当且仅当等号成立）所以，当时，面积的最大值为 14分21解：（1）依题意， 2分的系数依次为，4分 所以，解得； 6分（2） 8分 9分设，则考虑到，将以上两式相加得：,所以12分又当时，是上的单调递增函数，所以对任意，14分22解：(1)由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，2分准线方
10、程为4分 (2) 因为点在抛物线上， 所以，抛物线方程为5分由式知，代入得将代入式得，代入得因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为， 于是， 7分因为钝角且、三点互不相同，故必有求得的取值范围是或8分又点的纵坐标满足，故当时，；当时，即10分(3)证明：设直线、的方程分别为、 11分点和点的坐标是方程组的解将式代入式得，于是， 故 13分又点和点的坐标是方程组的解将式代入式得 于是，故 14分由已知得，则设点的坐标为，由，则15分将式和式代入上式得，即线段的中点在轴上16分23. 解：（1）由题设得，、均为非负整数，则的可能的值为1,2,5,10. 若，则，与题设矛盾， 若，则，与题设矛盾， 若，则，与题设矛盾， 所以. 4分（2）用数学归纳法证明. （i）当，等式成立。 5分 （ii）假设当（）时等式成立，即， 6分 由题设， ， 也就是说，当时，等式成立. 9分 根据（i）和（ii），对于所有，有. 10分（3）由，及， 得，.（注：n为奇数时，；n为偶数时，. 则） 即，.14分 所以 即（注：n为偶数时， n为奇数时，.18分