1、2016年四川省高考数学模拟试卷（理科）一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i为虚数单位，aR，若（a2+2a3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（）A1B3C3或1D3或12已知集合M=x|x|2，xR，N=x|x1|a，aR，若NM，则a的取值范围为（）A0a1Ba1Ca1D0a13设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（）Apq为真Bpq为假Cp为真Dq为真4已知抛物线x2=2py（p0）经过点（2，2），则抛物线的焦点坐标为（）ABCD5小明、小王
2、、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（）种A14B18C12D166执行如图所示的程序框图，输出P的值为（）A1B1C0D20167设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A1024B256C8D48已知O为ABC内一点，且有，记ABC，BCO，ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A3：2：1B3：1：2C6：1：2D6：2：19若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）ABCD10已知函数，若存在x1，x2，当0x1x22时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）f（x2）的取值
3、范围为（）ABCD二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11若样本数据x1，x2，x10的平均数为8，则数据2x11，2x21，2x101的平均数为_12在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为_13已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为_14在平面直角坐标系中，以（0，1）为圆心且与直线ax+y+1=0（aR）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为_15已知a0，f（x）=a2lnxx2+ax，若不等式ef（x）3e+2对任意x1，e恒成立，则实数a的取
4、值范围为_三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（）若=（0，1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围17为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良（）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（）从抽取的12人中随机选取3人，记表示测试成绩“优良”的学生人数，求的分布
5、列及期望18如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH（）求证：ABGH；（）求异面直线DP与BQ所成的角；（）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值19已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an4，数列bn满足bn+1bn=1，其n项和为Tn，且T2+T6=32（）求数列an，bn的通项公式；（）若不等式nlog2（Sn+4）bn+3n7对任意的nN*恒成立，求实数的取值范围20已知椭圆C： +=1（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，上顶
6、点为B，若直线BA1与圆M：（x+1）2+y2=相切（）求椭圆C的标准方程；（）直线l：x=2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点，求证：|DE|DF|为定值21设函数f（x）=x2x+t，t0，g（x）=lnx（）若对任意的正实数x，恒有g（x）x2成立，求实数的取值范围；（）对于确定的t，是否存在直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切？若存在，讨论直线l的条数，若不存在，请说明理由2016年四川省高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
7、目要求的.1已知i为虚数单位，aR，若（a2+2a3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（）A1B3C3或1D3或1【考点】复数的基本概念【分析】直接由实部等于0且虚部不为0列式求得a值【解答】解：（a2+2a3）+（a+3）i为纯虚数，解得：a=1故选：A2已知集合M=x|x|2，xR，N=x|x1|a，aR，若NM，则a的取值范围为（）A0a1Ba1Ca1D0a1【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】分别化简集合M，N，对a分类讨论，利用集合之间的关系即可得出【解答】解：集合M=x|x|2，xR=2，2，N=x|x1|a，aR，当a0时，N=，满足NM当a0时，集合N=1a，1+aNM，
8、解得0a1综上可得：a的取值范围为a1故选：B3设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（）Apq为真Bpq为假Cp为真Dq为真【考点】命题的否定【分析】根据复合命题的真假关系进行判断即可【解答】解：菱形的四边形的边长相等，但不一定是正方形，故命题p是真命题，当x=y时，满足cosx=cosy，但x=y不成立，即命题q是假命题，故q为真，其余都为假命题，故选：D4已知抛物线x2=2py（p0）经过点（2，2），则抛物线的焦点坐标为（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】抛物线x2=2py（p0）经过点（2，2），代值计算即可求出p
9、，能求出焦点坐标【解答】解：抛物线x2=2py（p0）经过点（2，2），4=4p，p=1，抛物线的焦点坐标为（0，），故选：C5小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（）种A14B18C12D16【考点】计数原理的应用【分析】小明不站排头，小张不站排尾，可按小明在排尾与不在排尾分为两类，根据分类计数原理可得【解答】解：小明不站排头，小张不站排尾排法计数可分为两类，第一类小明在排尾，其余3人全排，故有A33=6种，第二类小明不在排尾，先排小明，有A21种方法，再排小张有A21种方法，剩下的2人有A22种排法，故有222=8种根据分类计数
10、原理可得，共有6+8=14种，故选：A6执行如图所示的程序框图，输出P的值为（）A1B1C0D2016【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图的运行过程，写出每次循环得到的P，i的值，当i=20172016时，满足条件，终止循环，输出P的值【解答】解：执行程序框图，有p=0，i=1，P=0+cos=1，i=2，不满足条件i2016？，有P=1+cos2=0，i=3，不满足条件i2016，有P=0+cos3=1，i=2016，不满足条件i2016，有P=1+cos2016=0，i=2017，满足条件i2016，输出P的值为0故选：C7设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A1024B256C8D
11、4【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：由z=22xy，令u=2xy，作出约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2xu由图象可知当直线y=2xu过点A时，直线y=2xu的截距最小，此时u最大，由，解得，即A（5，2）代入目标函数u=2xy，得u=252=8，目标函数z=22xy，的最大值是28=256故选：B8已知O为ABC内一点，且有，记ABC，BCO，ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A3：2：1B3：1：2C6：1：2D6：2：1【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】如图所
12、示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE则+2=+=，由于+2+3=，可得=3又=2，可得=2于是=，得到SABC=2SAOB同理可得：SABC=3SAOC，SABC=6SBOC即可得出【解答】解：如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE则+2=+=，+2+3=，=3又=2，可得=2于是=，SABC=2SAOB同理可得：SABC=3SAOC，SABC=6SBOCABC，BOC，ACO的面积比=6：1：2故选：C9若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）ABCD【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】由题设知，
13、由，得2cb，再平方，4c2b2，；由，得b+2c2a，综上所述，【解答】解：椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，圆的半径，由，得2cb，再平方，4c2b2，在椭圆中，a2=b2+c25c2，；由，得b+2c2a，再平方，b2+4c2+4bc4a2，3c2+4bc3a2，4bc3b2，4c3b，16c29b2，16c29a29c2，9a225c2，综上所述，故选A10已知函数，若存在x1，x2，当0x1x22时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）f（x2）的取值范围为（）ABCD【考点】分段函数的应用【分析】先作出函数图象然后根据图象，根据f（x1）=f（x2），确
14、定x1的取值范围然后再根据x1f（x2）f（x2），转化为求在x1的取值范围即可【解答】解：作出函数的图象：存在x1，x2，当0x1x22时，f（x1）=f（x2）0x1，x+在0，）上的最小值为；2x1在，2）的最小值为，x1+，x1，x1f（x1）=x1+，f（x1）=f（x2）x1f（x2）f（x2）=x1f（x1）f（x1）2=（x1+）=x12x1，设y=x12x1=（x1）2，（x1），则对应抛物线的对称轴为x=，当x=时，y=，当x=时，y=，即x1f（x2）f（x2）的取值范围为，）故选：B二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11若样本数据x1，x2，x10的
15、平均数为8，则数据2x11，2x21，2x101的平均数为15【考点】众数、中位数、平均数【分析】根据平均数与方差的公式即可求出数据2x11，2x21，2x101的平均数【解答】解：样本数据x1，x2，x10的平均数是10，=（x1+x2+x10）=8；数据2x11，2x21，2x101的平均数是：= （2x11）+（2x21）+（2x101）=2（x1+x2+x10）1=281=15故答案为：1512在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为35【考点】二项式定理的应用【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=7，再利用二项展开式的通项公式求得x5的系数【解答】解
16、：由题意可得2n=128，n=7，=，它的通项公式为Tr+1=x214r，令214r=5，求得r=4，故展开式中x5的系数为=35，故答案为：3513已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为a【考点】棱柱的结构特征【分析】由图形可知AC平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距离与C到平面BB1D1D的距离相等，故EA=EC，所以EC就是EP+EP的最小值；【解答】解：连接AC交BD于N，连接EN，EC，则ACBD，BB1平面ABCD，BB1AC，AC平面BB1D1D，ACEN，AENCEN，EA=EC，连
17、接EC，线段EC的长就是EP+EA的最小值在RtEAC中，AC=a，EA=a，EC=a故答案为： a14在平面直角坐标系中，以（0，1）为圆心且与直线ax+y+1=0（aR）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为2【考点】直线与圆的位置关系【分析】圆半径r=，a=1时，rmin=1，a=1时，rmax=，由此能求出最大圆面积与最小圆面积的差【解答】解：圆以（0，1）为圆心且与直线ax+y+1=0（aR）相切，圆半径r=，a=1时，rmin=1，最小圆面积Smin=12=，a=1时，rmax=，最大圆面积Smax=3，最大圆面积与最小圆面积的差为：3=2故答案为：215已知a0，f（x）=
18、a2lnxx2+ax，若不等式ef（x）3e+2对任意x1，e恒成立，则实数a的取值范围为e+1，【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】利用导数可求得f（x）的单调区间，由f（1）=1+ae可得ae+1，从而可判断f（x）在1，e上的单调性，得到f（x）的最大值，令其小于等于3e+2可得答案【解答】解：f（x）=2x+a=，x0，又a0，x（0，a）时f（x）0，f（x）递增；x（a，+）时，f（x）0，f（x）递减又f（1）=1+ae，ae+1，f（x）在1，e上是增函数，最大值为f（e）=a2e2+ae3e+2，解得：a，又ae+1，而e+1，a的取值集合是e+1，故答案为：e+1，
19、三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（）若=（0，1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围【考点】平面向量数量积的运算【分析】（I）将切化弦，利于和角公式和正弦定理化简得出cosA；（II）求出+的坐标，计算|+|2，根据B的范围解出|+|的范围【解答】解：（I）=，整理得cosA=A=（II）2cos2=1+cosC=1cos（B+）=1cosB+sinB，=（cosB，1cosB+sinB）=（cosB，cosB+sinB），（）2=cos2B+（cosB+sinB）
20、2=+sin2B=1+cos（2B+）0B，2B+1cos（2B+），（）2|+|17为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良（）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（）从抽取的12人中随机选取3人，记表示测试成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【分析】（）12名学生中成绩是“优良
21、”的学生人数为9人，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，由此能求出至少有1人成绩是“优良”的概率（）由已知得的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E【解答】解：（）随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87，根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良，12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，从这12名学生中任选3人进行测试，基本事件总数n=220，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，至少有1人成绩是“优良”的概率：p=1=（
22、）由已知得的可能取值为0，1，2，3，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，有的分布列为： 0 1 2 3 PE=18如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH（）求证：ABGH；（）求异面直线DP与BQ所成的角；（）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角【分析】（I）根据中位线及平行公理可得CDEF，于是CD平面EFQ，利用线面平行的性质得出CDGH，从而GHAB；（II）由AQ=2BD可得ABB
23、Q，以B为原点建立空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角得出异面直线DP与BQ所成的角；（III）求出和平面PDC的法向量，则直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为|cos|【解答】证明：（I）CD是ABQ的中位线，EF是PAB的中位线，CDAB，EFAB，CDEF，又EF平面EFQ，CD平面EFQ，CD平面EFQ，又CD平面PCD，平面PCD平面EFQ=GH，GHCD，又CDAB，GHAB（II）D是AQ的中点，AQ=2BD，ABBQPB平面ABQ，BA，BP，BQ两两垂直以B为原点以BA，BQ，BP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：设BA=BP=BQ=1，则B（0，0，0），P（0，0，1
24、），D（，0），Q（0，1，0）=（，1），=（0，1，0）=，|=，|=1，cos=异面直线DP与BQ所成的角为arccos（III）设BA=BP=BQ=1，则A（1，0，0），Q（0，1，0），P（0，0，1），D（，0），C（0，0）=（1，1，0），=（，0，0），=（0，1）设平面CDP的一个法向量为=（x，y，z），则， =0，令z=1，得=（0，2，1）=2，|=，|=，cos=，直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为19已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an4，数列bn满足bn+1bn=1，其n项和为Tn，且T2+T6=32（）求数列an，bn的通项公式；（）若不等式nlog
25、2（Sn+4）bn+3n7对任意的nN*恒成立，求实数的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系即可得出（）Sn=24n4不等式nlog2（Sn+4）bn+3n7，化为：，利用单调性求出的最小值即可得出【解答】解：（I）Sn=2an4，n=1时，a1=2a14，解得a1=4；当n2时，an=SnSn1=2an4（2an14），化为：an=2an1数列an是等比数列，首项为4，公比为2，an=42n1=2n+1数列bn满足bn+1bn=1，数列bn是等差数列，公差为1T2+T6=32，2b1+1+6b1+1=32，解得b1=2
26、bn=2+（n1）=n+1（）Sn=22n+14不等式nlog2（Sn+4）bn+3n7，化为：，=（n+1）+323=3，当n=2时，取得最小值3，实数的取值范围是320已知椭圆C： +=1（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，上顶点为B，若直线BA1与圆M：（x+1）2+y2=相切（）求椭圆C的标准方程；（）直线l：x=2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点，求证：|DE|DF|为定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由条件可得到A1（2，0），B（0，b），从而可以写出直线BA1的方程，这样即可得出圆心（1，0）
27、到该直线的距离为，从而可以求出b，这便可得出椭圆C的标准方程为；（）可设P（x1，y1），从而有，可写出直线A1P的方程为，从而可以求出该直线和直线x=的交点E的坐标，同理可得到点F的坐标，这样即可得出|DE|，|DF|，然后可求得|DE|DF|=3，即得出|DE|DF|为定值【解答】解：（）由题意得A1（2，0），B（0，b）；直线BA1的方程为；圆心（1，0）到直线BA1的距离为；解得b2=3；椭圆C的标准方程为；（）证明：设P（x1，y1），则，；直线A1P的方程为；同理得，；|DE|DF|为定值21设函数f（x）=x2x+t，t0，g（x）=lnx（）若对任意的正实数x，恒有g（x）x
28、2成立，求实数的取值范围；（）对于确定的t，是否存在直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切？若存在，讨论直线l的条数，若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）由题意可得lnxx20恒成立，讨论当0时，h（x）=lnxx2递增，无最大值；当0时，求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，由恒成立思想解不等式即可得到所求范围；（2）分别设出切点，再根导数的几何意义求出切线方程，构造方程组，消元，再构造函数F（x）=lnx+（t+1），利用导数求出函数F（x）的最小值，再分类讨论，得到方程组的解得个数，继而得到切线的条数【解答】解：（1）对任意的正实数x，恒
29、有g（x）x2成立，即为lnxx20恒成立，当0时，h（x）=lnxx2递增，无最大值；当0时，h（x）=2x21，当x时，h（x）0，h（x）递减；当0x时，h（x）0，h（x）递增即有x=时，h（x）取得最大值，且为ln，由ln0，可得，综上可得，实数的取值范围是，+）；（2）记直线l分别切f（x），g（x）的图象于点（x1，x12x1+t），（x2，lnx2），由f（x）=2x1，得l的方程为y（x12x1+t）=（2x11）（xx1），即y=（2x11）xx12+t由g（x）=，得l的方程为ylnx2=（xx2），即y=x+lnx21所以（*）消去x1得lnx2+（t+1）=0 （*）
30、令F（x）=lnx+（t+1），则F（x）=，x0由F（x）=0，解得x=1当0x1时，F（x）0，当x1时，F（x）0，所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，从而F（x）min=F（1）=t当t=0时，方程（*）只有唯一正数解，从而方程组（*）有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线；当t0时，F（1）0，由于F（et+1）ln（et+1）（t+1）=0，故方程（*）在（1，+）上存在唯一解；令k（x）=lnx+1（x1），由于k （x）=0，故k （x）在（0，1上单调递减，故当0x1时，k （x）k （1）=0，即lnx1，从而lnx+（t+1）（）2t所以F（）（+）2t=+0，又01，故方程（*）在（0，1）上存在唯一解所以当t0时，方程（*）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解即存在两条满足题意的直线综上，当t=0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为22016年9月9日
