1、第 17 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1.2017全国卷 已知椭圆 C:+=1(ab0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3(-),P4()中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B 两点,若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1,证明:l过定点.试做2.2017全国卷 在直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2+mx-2 与 x 轴交于 A,B 两点,点 C 的坐标为(0,1).当 m 变化时,解答下列问题:(1)能否出现 ACBC 的情况?说明理由.(2)证明过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长
2、为定值.3.2016全国卷 在直角坐标系xOy 中,直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求 .(2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由.试做命题角度 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(1)求解圆锥曲线中定值问题的基本思路:从特殊元素入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.(2)求解圆锥曲线中定点问题的基本思路:假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数
3、无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点;从特殊位置入手,找出定点,再证明该点满足题意.(3)存在性问题的求解方法:先假设存在,在假设存在的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论,说明假设成立,否则说明假设不成立.解答 1 定点问题1 已知抛物线 C:x2=2y,直线 l:y=x-2,设 P 为直线 l 上的动点,过 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A,B.(1)当点 P 在 y 轴上时,求线段 AB 的长;(2)求证:直线 AB 恒过定点.听课笔记 【考场点拨】解决圆锥曲线中的定点问题应注意以下几点:(1)分清问题中哪些是定的,哪些是变动的;(2)注意
4、“设而不求”思想的应用,引入参变量,最后看能否把变量消去;()“先猜后证”也就是先利用特殊情况确定定点,然后验证,这样在整理式子时就有了明确的方向.【自我检测】已知椭圆 C:+=1(ab0)的离心率为 ,M()为焦点坐标是(0)的抛物线上一点,H 为直线 y=-a 上一点,A,B 分别为椭圆 C 的上、下顶点,且 A,B,H 三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆 C 的方程;(2)直线 HA,HB 与椭圆 C 的另一交点分别为 D,E,求证:直线 DE 过定点.解答 2 定值问题2 已知椭圆 E:+=1,点 A,B,C 都在椭圆 E 上,O 为坐标原点,D 为 AB 中点,且 =2 .(1)
5、若点 C 的坐标为(),求直线 AB 的方程;(2)求证:ABC 的面积为定值.听课笔记 【考场点拨】求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.【自我检测】已知抛物线 E:y2=2px(p0),直线 x=my+3 与 E 交于 A,B 两点,且 =6,其中 O 为坐标原点.(1)求抛物线 E 的方程;(2)已知点 C 的坐标为(-3,0),记直线 CA,CB 的斜率分别为 k1,k2,证明:+-2m2 为定值.解答 3 存在性问题3 已知点 A(0,-1),B(0,1),P 为椭圆 C
6、:+y2=1 上异于点 A,B 的任意一点.(1)求证:直线 PA,PB 的斜率之积为-.(2)是否存在过点 Q(-2,0)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,使得|BM|=|BN|?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.听课笔记 【考场点拨】存在性问题的求解策略:(1)若给出问题的一些特殊关系,要探索一般规律,并证明所得规律的正确性,通常要对已知关系进行观察、比较、分析,然后概括一般规律;(2)若只给出条件,求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时,一般先对结论给出肯定存在的假设,然后由假设出发,结合已知条件进行推理,从而得出结论.【自我检测】已知椭圆 C:+=1(
7、ab0)的两个焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,且椭圆 C的短轴长为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程.(2)是否存在过点 P(0,2)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M,N,且满足 =2(O 为坐标原点)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.第 17 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题典型真题研析1.解:(1)由于 P3,P4 两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过 P3,P4 两点.又由 +知,C 不经过点 P1,所以点 P2 在 C 上.因此 解得 故 C 的方程为 +y2=1.(2)证明:设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2
8、.如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知 t0 且|t|0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-,x1x2=-.而 k1+k2=-+-=-+-=(-)().由题设 k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,即(2k+1)-+(m-1)-=0,解得 k=-.当且仅当 m-1 时,0,于是 l:y=-x+m,即 y+1=-(x-2),所以 l 过定点(2,-1).2.解:(1)不能出现 ACBC 的情况,理由如下:设 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2 满足 x2+mx-2=0,所以 x1x2=-2.又 C 的坐标为(0,
9、1),故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为-=-,所以不能出现 ACBC 的情况.(2)证明:BC 的中点坐标为(),可得 BC 的中垂线方程为 y-=x2(-).由(1)可得 x1+x2=-m,所以 AB 的中垂线方程为 x=-.联立 -(-)又 +mx2-2=0,可得 -所以过 A,B,C 三点的圆的圆心坐标为(-),半径 r=.故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 -()=3,即过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.3.解:(1)由已知得 M(0,t),P ,t.又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N ,t,则直线 ON 的方程为 y=x,代入 y2=2px 整理得p
10、x2-2t2x=0,解得 x1=0,x2=.因此 H ,2t,所以 N 为 OH 的中点,即 =2.(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点.理由如下:直线 MH 的方程为 y-t=x,即 x=(y-t),代入 y2=2px 得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点.考点考法探究解答 1例 1 解:(1)设 A(),B().由 y=x2,得 y=x,以 A 为切点的切线方程为 y-=x1(x-x1),即 y=x1x-,同理以 B 为切点的切线方程为 y=x2x-.点 P(0,-2)
11、在切线上,-=-2,-=-2,=4(x1x20,x1+x2=-m,x1x2=1-.|AB|=-(-)=-=,O 到 AB 的距离 d=,=2 ,SABC=3SOAB=3 =.综上可知,SABC 为定值.【自我检测】解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 整理得 y2-2pmy-6p=0,y1+y2=2pm,y1y2=-6p,则 x1x2=()=9.由 =x1x2+y1y2=()+y1y2=9-6p=6,解得 p=,抛物线 E 的方程为 y2=x.(2)证明:由题知,k1=,k2=,=m+,=m+,+-2m2=()+()-2m2=2m2+12m()+36()-2m2=2m2+12m
12、 +36()-2m2.由(1)可知,y1+y2=2pm=m,y1y2=-6p=-3,+-2m2=2m2+12m(-)+36 -2m2=24,+-2m2 为定值.解答 3例 3 解:(1)证明:设点 P(x,y)(x0)则 y2=1-,kPAkPB=-=-=-=-,故得证.(2)假设存在直线 l 满足题意.显然当直线 l 的斜率不存在时,直线与椭圆 C 不相交.当直线 l 的斜率 k0 时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2),由 ()化简得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0,由=(8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)0,解得-k0,解得 k .设 M(x1,y1),N(x2,
13、y2),则 x1+x2=-,x1x2=,=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=()-+4=-.=2,-=2,解得 k=,满足 0.存在符合题意的直线 l,此时直线 l 的方程为 y=x+2.备选理由 所给三道例题,都是围绕定点、定值及存在性问题展开,综合性强,运算量大,解题时要注意分类讨论,避免出现解题不全,遗漏等情况.例 1 配例 1 使用 设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 l.已知以 F 为圆心,半径为 4的圆与 l 交于 A,B 两点,E 是该圆与抛物线 C 的一个交点,EAB=90.(1)求 p 的值;(2)已知点 P 的纵坐标为-1
14、 且在 C 上,Q,R 是 C 上异于点 P 的两点,且满足直线 PQ 和直线 PR的斜率之和为-1,证明:直线 QR 过定点.解:(1)由题意及抛物线定义知,|AF|=|EF|=|AE|=4,所以AEF 为边长为 4 的正三角形,设准线 l与 x 轴交于点 D,则|FD|=p=|AE|=4=2.(2)证明:设直线 QR 的方程为 x=my+t,由 得 y2-4my-4t=0,=16m2+16t0,设 Q(x1,y1),R(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4t.因为点 P 在抛物线 C 上,直线 PQ,PR 的斜率存在,所以 kPQ=-=-=-,同理可得kPR=-.因为 kPQ
15、+kPR=-1,所以 -+-=()-()=-=-1,解得 t=3m-.由 -(-)-解得 m(-)()(1,+).所以直线 QR 的方程为 x=m(y+3)-,则直线 QR 过定点(-).例 2 配例 2 使用 已知椭圆 C1:+=1(b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 F2 也为抛物线C2:y2=8x 的焦点.(1)若 M,N 为椭圆 C1 上两点,且线段 MN 的中点坐标为(1,1),求直线 MN 的斜率;(2)若过椭圆 C1 的右焦点 F2 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点 A,B 和点 C,D,设线段AB,CD 的长分别为 m,n,证明:+是定值.解:因为抛物线 C2:y2=8
16、x 的焦点坐标为(2,0),所以 8-b2=4,故 b=2.所以椭圆 C1 的方程为 +=1.(1)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 两式相减得()(-)+()(-)=0,又 MN 的中点坐标为(1,1),所以 x1+x2=2,y1+y2=2,所以 -=-,所以直线 MN 的斜率为-.(2)证明:椭圆的右焦点为 F2(2,0).当直线 AB 的斜率不存在或为 0 时,+=+=.当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-2)(k0)设 A(x3,y3),B(x4,y4),由 (-)消去 y 并化简得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-8=0,=(-8
17、k2)2-4(1+2k2)(8k2-8)=32(k2+1)0,x3+x4=,x3x4=(-),所以 m=()-=().同理可得 n=(),所以 +=()=.综上可得,+为定值 .例 3 配例 3 使用 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:+=1(ab0)的离心率 e=,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3.(1)求椭圆 C 的方程.(2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点A,B,且OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的OAB 的面积;若不存在,请说明理由.解:(1)e=,
18、=,即 a2=3b2,则椭圆方程为 +=1(b0).设椭圆 C 上任一点 P(x0,y0),则 =3b2-3 ,|PQ|=(-)=-=-(),-by0b.当-b-1,即 b 时,|PQ|max=3(此时 y0=-1),解得 b=1;当-b-1,即 0b1 时,|PQ|max=3,解得 b=1,舍去.综上,b=1,a2=3b2=3,椭圆 C 的方程为 +y2=1.(2)假设存在点 M 满足题意.圆心 O 到直线 l 的距离 d=,|AB|=2-,OAB 的面积 S=|AB|d=d-=-=-(-).点 M(m,n)在椭圆 C 上,|MO|,即 ,d d2.当 d2=时,Smax=,此时由 得 综上所述,椭圆上存在四个点(),(-),(-),(-),使得直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A,B,且OAB 的面积最大,面积的最大值为 .
