1、第二章检测题B时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法中不正确的是()A平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果a、b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量答案D解析只有当a、b不共线且a，b时，D才正确2已知A(2，4，1)，B(1,5,1)，C(3，4,1)，令a，b，则ab对应的点为()A(5，9,2)B(5,9，2)C(5,9，2)D(5，9，2)答案B解析(1,0，2)，(4,9,0)，
2、故ab(5,9，2)3已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()A2，B，C3,2D2,2答案A解析因为ab，所以存在实数k，使bka，即(6,21,2)(kk,0,2k)所以所以或故选A4(2014清华附中月考)已知a，b是两异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则直线a，b所成的角为()A30B60C90D45答案B解析由于，()21.cos，60，故选B5已知a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos) ，且a b则向量ab与ab的夹角是()A90B60C30D0答案A解析|a|22，|b|22，(ab)(ab)|a|2|b|20，
3、(ab)(ab)6已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O，则下列各结论中不正确的是()A与是一对相反向量B与是一对相反向量C与是一对相反向量D与是一对相反向量答案B解析，由图知与是一对相等向量7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A45B60C90D120答案B解析连接A1B，BC1，A1C1，如图，则A1BBC1A1C1，且EFA1B，GHBC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60，选B8如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向
4、量的数量积等于a2的是()A2B2C2D2答案B解析222a2cos60a2，222a2cos60a2，2a2,2a2.9正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PCD所成的角的度数为()A30B45C60D90答案B解析以AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PA1，则D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，(0,1，1)，(1,0,0)，设平面PCD的法向量n(x，y，z)，由，得，令z1，则n(0,1,1)，显然平面PAB的一个法向量e(0,1,0)，cosn，e，n，e45，二面角大小为45.10如下图，正方形
5、ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1.M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1,1,1)BCD答案C解析M在EF上，设MEx，M，A(，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，0)，(，0，1)，(0，1)，.设平面BDE的法向量n(a，b，c)，由，得.故可取一个法向量n(1,1，)，有n0，x1，M，故选C简解：设AC、BD相交于O连OE，AM平面BDE，AMOE，M为EF的中点，又E(0,0,1)，F(，1)，M(，1)，故选C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11已知向量a(0,2,1)，b(1,1，2)，则a与b的夹角为_答案解析
6、ab0220，ab，a与b的夹角为.12已知A(1,2,0)，B(0,1，1)，P是x轴上的动点，当取最小值时，点P的坐标为_答案(，0,0)解析设P(x,0,0)，则(x1，2,0)，(x，1,1)，x(x1)2(x)2，当x时，取最小值，此时点P的坐标为(，0,0)13已知空间三点A(1,1,1)、B(1,0,4)、C(2，2,3)，则与的夹角的大小是_答案120解析(2，1,3)，(1,3，2)，cos，120.14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是上底面A1B1C1D1的中心，则OC与BC1所成角的余弦值为_答案解析以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建
7、立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则O(，1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，所以(，1)，(1,0,1)，所以cos，.OC与BC1所成角的余弦值为.15已知A(1,1,0)，B(1,2,1)，C(0,0,2)，则原点O到平面ABC的距离为_答案解析设过O与平面ABC垂直的向量为，则，(0,1,1)，(1，1,2)，又设(x，y，z)，则，令z1，则(3，1,1)，又(1,1,0)，d.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)求a和b的
8、夹角的余弦值；(2)若向量kab与ka2b互相垂直，求k的值解析a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)(1)cos ，a与b的夹角的余弦值为.(2)kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k，k,0)(2,0,4)(k2，k，4)(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280.即2k2k100，k或k2.17如图所示，平行六面体OABCOABC，且a，b，C(1)用a，b，c表示向量，.(2)设G、H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.解析(1)abCbcA(2)()()(abcb)(abcc
9、)(cb)18如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点求证：EF平面B1AC证明方法一：建立如图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)(1，1,1)，(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)，(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0)而1012120，1(2)12100，且.EFAB1，EFAC又AB1ACAEF平面B1AC方法二：(上同方法一)设平面B1AC的法向量为n(x，y，z)，则n0且n0，即，令y1，则x1，z1.n(1,1，1)，n.EF面B1
10、AC19(2014福建理)在平行四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值解析(1)平面ABD平面BCD，平面BCD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD又CD平面BCD，ABCD(2)过点B在平面BCD内作BEBD，如图由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD、BD平面BCD，ABBE，ABBD以B为坐标原点分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0
11、,1)，M(0，)则(1,1,0)，(0，)，(0,1，1)，设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)则即取z01得平面MBC的一个法向量n(1，1,1)设直线AD与平面MBC所成的角为，则sin|cosn，|即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.20如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积解析解法1：如图(1)，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设PAh，则相关
12、各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)(1)易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为8800，0，所以CDAE，CDAP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.(2)由题设和(1)知，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即|.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故|.解得h.又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为VSPA16.21(
13、2015天津理，17)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点()求证：MN平面ABCD；()求二面角D1ACB1的正弦值；()设E为棱A1B1上的点若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长解析以A为原点建立空间直角坐标系()求出直线MN的方向向量与平面ABCD的法向量，两个向量的乘积等于0即可；()求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；() 设，代入线面角公式计算可解出的值，即可求出A1E的长解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
14、依题意可得A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(2,0,0)，D(1，2,0)，A1(0,0,2)，B1(0,1,2)，C1(2,0,2)，D1(1，2,2)，又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得 M，N(1，2,1)()依题意，可得n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由此可得，n0，又因为直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD ()(1，2,2)，(2,0,0)，设n1(x1，y1，z1)为平面ACD1的法向量，则 即不妨设z11，可得 n1(0,1,1)，设n2(x2，y2，z2)为平面ACB1的一个法向量，则又(0,1,2)，得 ，不妨设z21，可得n2(0，2,1). 因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2，所以二面角D1ACB1的正弦值为.()依题意，可设，其中0,1，则E(0，2)，从而(1，2,1)，又n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由已知得 cos，n，整理得2430，又因为0,1，解得2， 所以线段A1E的长为2.