1、上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学试卷（文）2014年4月考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分考试时间120分钟解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分一填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知为虚数单位，计算：_2已知集合，集合，则_3函数的最小正周期是_4在的展开式中，含项的系数是_5某校选修篮球课程的学生中，高一学生有名，高二学生有名，现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了人，则在高二学生中应抽取_人6已知向量，其中，若，则
2、_7对于任意，函数的反函数的图像经过的定点的坐标是_8已知函数将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体的体积为_9已知，则_10已知抛物线型拱桥的顶点距水面米时，量得水面宽为米则水面升高米后，水面宽是_米（精确到米）11从集合中随机取一个数，从集合中随机取一个数，则“事件”发生的概率是_12已知，且，则的最小值是_13若平面区域是一个三角形，则的取值范围是_14已知函数若对于正数（），直线与函数的图像恰有个不同交点，则_二选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分开始结束输出否是1
3、5运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对所对应的点都在函数（ ）A的图像上B的图像上C的图像上D的图像上16下列说法正确的是（ ）A命题“若，则”的否命题是“若，则”B“”是“”的必要不充分条件C命题“若，则”的逆否命题是真命题D“”是“”的充分不必要条件17已知双曲线：（，），方向向量为的直线与交于两点、，若线段的中点为，则双曲线的渐近线方程是（ ）A B C D 18已知偶函数对任意都有，则的值等于（ ）A B C D三解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分在
4、中，角、所对的边分别为、，已知（），且（1）当，时，求，的值；（2）若为锐角，求实数的取值范围20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，平面，（1）求证：棱锥与棱锥的体积相等ABCDPQ（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知椭圆：（）的焦距为，且椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）设、为椭圆上关于轴对称的两个不同的动点，求的取值范围22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
5、题满分6分已知等差数列满足，（1）求的通项公式；（2）若，数列满足关系式求证：数列的通项公式为；（3）设（2）中的数列的前项和为，对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分设是实数，函数（）（1）求证：函数不是奇函数；（2）当时，解关于的方程；（3）当时，求函数的值域（用表示）上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学试卷（文）参考答案与评分标准2014年4月注：解答题评分标准中给出的为各小题的累计分，请阅卷老师注意一填空题（每小题4分，满分56分）1 2 3 4 5 6 78 9 10 11
6、 12 1314二选择题（每小题5分，满分20分）15D 16C 17B 18D三解答题（共5题，满分74分）19（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分（1）由正弦定理得，所以， （2分）又，所以或 （5分）（少一组解扣1分）（2）由余弦定理，（1分）即， （2分）所以 （4分）由是锐角，得，所以 （6分）由题意知，所以 （7分）20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分（1）设，设棱锥的体积为，棱锥的体积为由，知是棱锥的高， （1分）所以棱锥的体积 （3分）又 （5分）所以，即棱锥与棱锥的体积相等 （6分）ABCDPQE（2）因
7、为，取中点，边结，则，且，故，所以为异面直线与所成角（2分）设，则在中， （4分）由余弦定理，（7分）所以，异面直线与所成角的大小为 （8分）21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分（1）解法一：由已知得， （1分）因为椭圆过点，所以 （2分）解得 （4分）所以，椭圆的方程为 （6分）解法二：由已知得，所以椭圆的两个焦点是，（1分）所以，故， （4分）所以 （5分）所以，椭圆的方程为 （6分）（2）设，则（）， （1分）由，得，所以， （5分）由题意，所以 （7分）所以，的取值范围是 （8分）22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满
8、分6分，第3小题满分6分（1）设等差数列的公差为，由已知，有解得（2分）所以，即的通项公式为（）（4分）（2）因为，所以，当时， （2分）证法一（数学归纳法）：当时，结论成立； （3分）假设当时结论成立，即，那么当时，即时，结论也成立 （5分）由，得，当时，成立 （6分）证法二：当时，所以 （2分）将这个式子相加，得， （4分）即 （5分）当时，也满足上式所以数列的通项公式为 （6分）（3）由（2），所以， （2分）所以，原不等式变为，即，（4分）所以对任意恒成立，所以所以，的取值范围是 （6分）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（1）假设是奇函数，那么对于一切，有，从而，即，但是，矛盾所以不是奇函数（也可用等证明） （4分）（2）因为，所以当时， （1分）由，得，即，解得（舍去）或 （4分）所以，当，即时，原方程无解； （5分）当，即时，原方程的解为（6分）（3）令，则，原函数变成 （1分）因为，故 （2分）对于，有，当时，是关于的减函数，的取值范围是；当时，当时，的取值范围是，当时，的取值范围是 （5分）iv；一对于，有是关于的增函数，其取值范围 （7分）综上，当时，函数的值域是；当时，函数的值域是 （8分）
