1、2015年内蒙古包头九中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合M=x|3x1，N=x|x3，则集合x|x1=（） A MN B MN C R（MN） D R（MN）【考点】： 交、并、补集的混合运算【专题】： 集合【分析】： 根据题意和交、并、补集的运算，分别求出MN、MN、R（MN）、R（MN），即可得答案【解析】： 解：因为集合M=x|3x1，N=x|x3，所以MN=，MN=x|x1，则R（MN）=R，R（MN）=x|x1，故选：D【点评】： 本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时
2、要认真审题，仔细解答2（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则=（） A 4 B 3 C 2 D 1【考点】： 复数代数形式的混合运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 求出复数z2，然后利用复数的模的计算法则求解即可【解析】： 解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，z2=2+i=1故选：D【点评】： 本题考查复数的模的计算，基本知识的考查3（5分）以下命题：随机变量服从正态分布N（0，2），若P（2）=0.023，则P（22）=0.954；函数f（x）=ex+x2的零点所在的区间是（1，2）；“|x|1”的充分不必要条件是“x1”
3、；dx=0其中假命题的个数是（） A 0 B 1 C 2 D 3【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 简易逻辑【分析】： l利用正态分布N（0，2）的性质可得P（22）=12P（2），即可判断出真假；函数f（x）=ex+x2在R上单调递增，又f（0）=12=10，f（1）=e0，即可判断出函数f（x）的零点所在的区间；x1|x|1，反之不成立，即可判断出命题的真假；dx=2=2，即可判断出命题的真假【解析】： 解：随机变量服从正态分布N（0，2），若P（2）=0.023，则P（22）=12P（2）=0.954，是真命题；函数f（x）=ex+x2在R上单调递增，又f（0）=12=10，f（
4、1）=e0，函数f（x）的零点所在的区间是（0，1），因此是假命题；x1|x|1，反之不成立，因此“|x|1”的充分不必要条件是“x1”，是真命题；dx=2=20，因此是假命题其中假命题的个数是2故选：C【点评】： 本题考查了简易逻辑的判定方法、正态分布的对称性、函数的单调性、函数零点存在判定定理、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为（） A 2 B 1 C 0 D 4【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 先画出满足条件的平面区域，将z=2x+y转化为：y=2x+z，由图象得：y=2x+z过（1，
5、2）时，z最大，代入求出即可【解析】： 解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=2x+y转化为：y=2x+z，由图象得：y=2x+z过（1，2）时，z最大，Z最大值=4，故选：D【点评】： 本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题5（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的S为（） A 240 B 210 C 190 D 231【考点】： 循环结构【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，可得程序运行的功能是计算并输出求S=122+32+202的值，计算即可得解【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得程序运行的功能是计算并输出求S=122+
6、32+202的值，当i=21时，满足条件n20，程序运行终止，S=122+32+202=210故选：B【点评】： 本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图得程序运行的功能是解题的关键，属于基本知识的考查6（5分）ABC外接圆的半径为2，圆心为O，且2+=，|=|，则的值是（） A 12 B 11 C 10 D 9【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 解三角形；平面向量及应用【分析】： 运用向量的三角形法则，以及外心的特点，可得O为BC的中点，A为直角，再由勾股定理和向量的数量积的定义，计算即可得到【解析】： 解：2+=，即有2+=，可得+=，则O为BC的中点，即有ABAC，又|
7、=|，则ABO为等边三角形，且边长为2，由勾股定理可得，AC=2，则=|cosACB=24=12故选A【点评】： 本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义的运用，同时考查三角形的外心的概念和勾股定理的运用，属于基础题7（5分）若函数f（x）=sin（x+）（0且|）在区间，上是单调减函数，且函数值从1减小到1，则f（）=（） A 1 B C D 0【考点】： 正弦函数的图象【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 根据函数的单调性和最值求出 和的值即可得到结论【解析】： 解：f（x）=sin（x+）（0且|）在区间，上是单调减函数，且函数值从1减小到1，即函数的周期T=，T=，=2，则f
8、（x）=sin（2x+），f（）=sin（2+）=1，sin（+）=1，即+=+2k，kZ，即=+2k，kZ，|，当k=0时，=，即f（x）=sin（2x+），则f（）=sin（2+）=sin（+）=cos=，故选：C【点评】： 本题主要考查三角函数的图象的应用，根据条件求出 和的值是解决本题的关键8（5分）已知f（x）是定义在（，+）上的偶函数，且在（，0上是增函数，设a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（） A cab B cba C bca D abc【考点】： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质【专题】： 函数的性质及应用【分析】：
9、由f（x）是偶函数，则f（x）=f（|x|），单调性在对称轴两侧相反，通过比较自变量的绝对值的大小，可得对应函数值的大小【解析】： 解：f（x）是偶函数，f（x）=f（|x|），log47=log21，|3|=|log231|=log23，又2=log24log23log21，0.20.6=50.6=2，0.20.6|log2 3|log4 7|0又f（x）在（，0上是增函数且为偶函数，f（x）在0，+）上是减函数；f（0.20.6）f（）f（log47）；即cba故选：B【点评】： 本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用，解题的关键是总结出函数的性质，由自变量的大小得出对应函数值的大小9（5分
10、）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A 3 B C D 【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积【解析】： 解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：直三棱柱的体积为222=4消去的三棱锥的体积为212=，几何体的体积V=4=故选：B【点评】： 本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键10（5分）把5名师范大学的毕业生分配到A、B、C三所学校，每所学校至少一人
11、其中学数学的两人，学语文的两人，学英语的一人，若A校不招收同一学科的毕业生，则不同的分配方法共有（） A 148种 B 132种 C 126种 D 84种【考点】： 排列、组合及简单计数问题【专题】： 排列组合【分析】： 分三类当A校选一名时，当A校选两名时，当A校选三名时，根据分类计数原理得到答案【解析】： 解：5名师范大学的毕业生分配到A、B、C三所学校，每所学校至少一人，当A校选一名时=5种，另外4人分为（3，1）和（2，2）两组，有+=14种，故有514=70种，当A校选两名时11=8种，另外3人分为（2，1）一组，有=6种，故有86=48种，当A校选三名时=4种，另外2人分为（1，1
12、）一组，有=2种，故有42=8种，根据分类计数原理得，A校不招收同一学科的毕业生，则不同的分配方法共有70+48+8=126种故选：C【点评】： 本题考查了分组分配问题以及分类分步计数原理，本题的特殊元素要求较多，属于中档题11（5分）（2014邢台二模）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，点A、B、C、D在球O上，球O与BA1的另一个交点为E，与CD1的另一个交点为F，AEBA1，则球O表面积为（） A 6 B 8 C 12 D 16【考点】： 球的体积和表面积【专题】： 球【分析】： 连结EF，DF，说明三棱柱ABEDCF是球O的内接直三棱柱，求出球的半径，即可求解
13、球的表面积【解析】： 解：连结EF，DF，易证得BCEF是矩形，则三棱柱ABEDCF是球O的内接直三棱柱，AB=2，AA1=2，tanABA1=，即ABA1=60，又AEBA1，AE=，BE=1，球O的半径R=，球O表面积为：4R2=8故选：B【点评】： 【点评】：本题主要考查球的表面积公式，以及球内接三棱柱的关系，考查空间想象能力以及计算能力12（5分）已知函数f（x），则方程f（2x2+x）=a（a0）的根不可能为（） A 3 B 4 C 5 D 6【考点】： 函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用【专题】： 计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】： 作函数f（x）的图象，结合图象分析
14、根的个数【解析】： 解：作函数f（x）的图象如右图，2x2+x=2（x+）2；故当a=f（）时，方程f（2x2+x）=a有一个负根，再由|lg（2x2+x）|=f（）得，2x2+x=10f（），及2x2+x=10f（），故还有四个解，故共有5个解；当a1时，方程f（2x2+x）=a有四个解，当f（）a1时，方程f（2x2+x）=a有6个解；故选A【点评】： 本题考查了作图能力及分段函数的应用，属于难题二填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13（5分）二项式展开式中的常数项为15【考点】： 二项式系数的性质【专题】： 二项式定理【分析】： 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的
15、值，即可求得常数项【解析】： 解：二项式展开式中的通项公式为 Tr+1=x6r（1）rx2r=x63r，令63r=0，求得 r=2，故展开式中的常数项为 =15，故答案为：15【点评】： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题14（5分）（2014甘肃二模）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=30【考点】： 正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： 已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cos
16、A的值，即可确定出A的度数【解析】： 解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2b2=bc=6b2，即a2=7b2，由余弦定理得：cosA=，A为三角形的内角，A=30故答案为：30【点评】： 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键15（5分）如图，过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为y2=3x【考点】： 抛物线的标准方程【专题】： 计算题；数形结合；待定系数法【分析】： 根据过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线l交抛物线于点
17、A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得NCB=30，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而，且，可求得p的值，即求得抛物线的方程【解析】： 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，NCB=30，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6x=1，而，且，得y2=3x故答案为：y2=3x【点评】： 此题是个中档题考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程体现了数形结合的思想，特别是解析几何，
18、一定注意对几何图形的研究，以便简化计算16（5分）若实数a、b、c、d满足（belna）2+（cd+3）2=0（其中e是自然底数），则（ac）2+（bd）2的最小值为【考点】： 基本不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 由已知得到b=elna，d=c+3，构造函数y=elnx，y=x+3，得到（ac）2+（bd）2的表示y=elnx上的点到直线y=x+3上的点的距离平方；求出曲线y=elnx与y=x+3平行的切线的切点，利用点线距离公式得到答案【解析】： 解：（belna）2+（cd+3）2=0，b=elna，d=c+3，设函数y=elnx，y=x+3，（ac）2+（bd）2表示y=
19、elnx上的点到直线y=x+3上的点的距离平方，对于函数y=elnx，y=，令y=1得x=e，曲线y=elnx与y=x+3平行的切线的切点坐标为（e，e），所以切点到直线y=x+3即xy+3=0的距离为d=，所以（ac）2+（bd）2的最小值为，故答案为：【点评】： 本题考查的是通过构造函数，将代数问题转化为几何问题，点到直线的距离公式，是一道中档题三、解答题：解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，S5=15，且a2，a4，a8成等比数列（1）求an的通项公式；（2）设bn=，证明：bn2【考点】： 数列的求和【专题】： 综合题；等差
20、数列与等比数列【分析】： （1）设出等差数列的首项和公差，由已知得到首项和公差的两个关系式，求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案（2）利用放缩法及列项相消法得证【解析】： 解：（1）在等差数列an中，设其首项为a1，公差为d，S5=15， 又a2，a4，a8成等比数列，即，由，得a1=1，d=1，an=1+（n1）1=n，an的通项公式为an=n（2）bn=1+1+=1+=2，bn2【点评】： 本题考查等差数列性质的综合应用及不等式的应用，解题时要注意计算能力的培养18（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM
21、（1）求证：ADBM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角EAMD的余弦值为【考点】： 用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题【专题】： 综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】： （1）先证明BMAM，再利用平面ADM平面ABCM，证明BM平面ADM，从而可得ADBM；（2）建立直角坐标系，设，求出平面AMD、平面AME的一个法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角EAMD的余弦值为，即可得出结论【解析】： （1）证明：长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，AM=BM=，BMAM，平面ADM平面ABCM，平面ADM平
22、面ABCM=AM，BM平面ABCMBM平面ADMAD平面ADMADBM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量，设平面AME的一个法向量为，取y=1，得，所以，因为求得，所以E为BD的中点【点评】： 本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法是关键19（12分）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是ACDB，乙线路是AEFGHB，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段假设这三条路段堵车与否相互独立这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化在不堵车的情况下走线
23、路甲需汽油费500元，走线路乙需汽油费545元而每堵车1小时，需多花汽油费20元路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据（1）求CD段平均堵车时间a的值（2）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率（3）在（2）的条件下，某4名司机中走甲线路的人数记为X，求X的数学期望【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型【专题】： 概率与统计【分析】： （1）用每一段的时间的平均值乘以对应的概率，即为所求（2）先求出走线路甲所花汽油费的期望E，再求出走乙线路多花汽油费的数学期望为E择走甲线路应满足E（545+）E0，
24、结合x、y的范围，利用几何概型求出选择走甲线路的概率（4）用人数乘以选择走甲线路的概率，即为所求【解析】： 解：（1）（2）设走线路甲所花汽油费为元，则E=500（1x）+（500+60）x=500+60x，设走乙线路多花的汽油费为元，EF段、GH段堵车与否相互独立，E=40y+5，走乙线路所花汽油费的数学期望为E（545+）=545+E=550+40y，依题意选择走甲线路应满足（550+40y）（500+60x）0，选择走甲线路的概率为图中阴影部分的面积与整个矩形面积之比，即矩形的面积减去小直角三角形的面积的差除以矩形面积，P（走路甲）=，（3）二项分布EX=4=3.5【点评】： 本题主要考
25、查离散型随机变量的分布列与数学期望，几何概型的应用，属于中档题20（12分）在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别为椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点，B为短轴的一个端点，E是椭圆C上的一点，满足OE=OF1+，且EF1F2的周长为2（+1）（1）求椭圆C的方程；（2）设点M是线段OF2上的一点，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点，若MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线l距离的取值范围【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （1）由已知F1（xc，0），设B（0，b），则E（c，），2a+2c=2+2，由此能求出椭圆C的方
26、程（2）设点M（m，0），（0m1），直线l的方程为y=k（x1），k0，由，得：（1+2k2）x24k2x+2k22=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出点M到直线距离的取值范围【解析】： （本小题满分12分）解：（1）由已知F1（xc，0），设B（0，b），即=（c，0），=（0，b），=（c，），即E（c，），得，（2分）又PF1F2的周长为2（），2a+2c=2+2，（4分）又得：c=1，a=，b=1，所求椭圆C的方程为：=1（5分）（2）设点M（m，0），（0m1），直线l的方程为y=k（x1），k0，由，消去y，得：（1+2k2）x24k2x+
27、2k22=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点为N（x0，y0），则，y1+y2=k（x1+x22）=，=，即N（），（8分）MPQ是以M为顶点的等腰三角形，MNPQ，即=1，m=（0，），（10分）设点M到直线l：kxyk=0距离为d，则d2=，d（0，），即点M到直线距离的取值范围是（0，）（12分）【点评】： 本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式的合理运用21（12分）已知函数f（x）=，a，bR，且a0（1）当a=2，b=1，求函数f（x）的极值；（2）设g（x）=a（x1）exf（x
28、），若存在x1，使得g（x）+g（x）=0成立，求的取值范围【考点】： 利用导数研究函数的极值【专题】： 导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】： （1）求出a=2，b=1的函数f（x）的导数，求得单调区间，求得极值；（2）求出g（x）的导数，由题意可得存在x1，使2ax33ax22bx+b=0 成立由a0，则，设，求出导数，判断单调性，即可得到所求范围【解析】： 解：（1）当a=2，b=1时，定义域为（，0）（0，+）所以 令f（x）=0，得，列表由表知f（x）的极大值是，f（x）的极小值是（2）因为，所以由g（x）+g（x）=0，得，整理得2ax33ax22bx+b=0存在x1，使g
29、（x）+g（x）=0成立等价于存在x1，使2ax33ax22bx+b=0 成立因为a0，所以设，则因为x1时，u（x）0恒成立，所以u（x）在（1，+）是增函数，所以u（x）u（1）=1，所以，即的取值范围为（1，+）【点评】： 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查函数的单调性的运用，考查运算能力，正确求导和构造函数是解题的关键请考生在第22、23、24三题中任选一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）（2015南昌校级模拟）如图，点A在直径为15的O上，PBC是过点O的割线，且PA=10，PB=5（）求证：PA与O相切；（）求SACB的值【考点】： 圆的切线的判定定理的证
30、明【专题】： 选作题；立体几何【分析】： （）利用勾股定理证明PAOA，再利用切线的判定方法，即可得出结论；（）证明PABPCA，可得，求出AC，BC，即可求SACB的值【解析】： （）证明：连结OA，O的直径为15，OA=OB=7.5又PA=10，PB=5，PO=12.5（2分）在APO中，PO2=156.25，PA2+OA2=156.25即PO2=PA2+OA2，PAOA，又点A在O上故PA与O相切（5分）（）解：PA为O的切线，ACB=PAB，又由P=P，PABPCA，（7分）设AB=k，AC=2k，BC为O的直径且BC=15，ABAC，（10分）【点评】： 本题考查了切线的判定与性质解
31、答这类题目，常见的辅助线有：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”【选修4-4：坐标系与参数方程】23已知曲线C1的极坐标方程是=4cos，曲线C1经过平移变换得到曲线C2；以极点为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C1交于A、B两点，点M的直角坐标为（2，1），若，求直线l的普通方程【考点】： 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【专题】： 选作题；坐标系和参数方程【分析】： （1）利用直角坐标与极坐标间的关系：cos=x，
32、sin=y，2=x2+y2，进行代换即得（2）设A（2+tAcos，1+tAsin），B（2+tBcos，1+tBsin）把直线的参数方程代入曲线C1的方程，根据t的几何意义即可求出【解析】： 解：（1）曲线C1的极坐标方程是=4cos，直角坐标方程为（x2）2+y2=4曲线C1经过平移变换得到曲线（4分）（2）设A（2+t1cos，1+t1sin），B（2+t2cos，1+t2sin），由，得t1=2t2（4分）联立直线的参数方程与曲线C1的直角坐标方程得：t2cos2+（1+tsin）2=4，整理得：t2+2tsin3=0，t1+t2=2sin，t1t2=3，与联立得：，（8分）直线的参数
33、方程为（t为参数）或（t为参数）消去参数的普通方程为或（10分）【点评】： 本题考查了极坐标、直角坐标方程、及参数方程的互化，考查了方程思想，属于基础题【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=|x+2|2x2|（1）解不等式f（x）2；（2）设g（x）=xa，对任意xa，+）都有 g（x）f（x），求a的取值范围【考点】： 绝对值不等式的解法【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： （1）分类讨论，去掉绝对值，分别求得不等式f（x）2的解集，再取并集，即得所求（2）作出f（x）的图象，数形结合求得满足xa，+）时g（x）f（x）的a的取值范围【解析】： 解：（1）对于f（x）2，当x2时，不等式即x42，即x2，x；当2x1时，不等式即3x2，即x，x1；当x1时，不等式即x+42，即x6，1x6综上，不等式的解集为x|x6（2）f（x）=|x+2|2x2|=，函数f（x）的图象如图所示：g（x）=xa，表示一条斜率为1且在y轴上的截距等于a的直线，当直线过（1，3）点时，a=2当a2，即a2时，恒有g（x）f（x）成立当a2，即a2时，令f（x）=g（x），即x+4=xa，求得x=2+，根据对任意xa，+）都有 g（x）f（x），a2+，即a4综上可得，a2 或a4【点评】： 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题
