1、2.2.2 平面与平面平行的判定理解平面与平面平行的判定定理,会用符号语言和图形语言来描述它们.结合具体问题体会化归与转化的数学思想,体会空间与平面的转化关系.两个平面平行的判定1.定义 如果两个平面没有公共点,就说这两个平面平行.表示式:_.2.判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面_.表示式:3.平行于同一个平面的两个平面平行.表示式:平行1.两平面平行的判定定理(1)利用判定定理证明两个面平行,必须强调定理中的六个关键字,“两条”“相交”“平行”,在证明过程中,五个条件缺一不可,即.(2)具体应用时,关键是在平面内找到与平行的两条相交直线.(3)由判定定
2、理可得出一个推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线.那么这两个平面平行.2.证明面面平行的常用方法证明面面平行常转化为线面平行,线面平行又转化为线线平行.也就是把空间几何问题转化为平面几何问题解决.(1)根据两平面平行的定义,直接证明不易表达,常用反证法;(2)利用判定定理;(3)可以用判定定理的推论;(4)平行于同一平面的两个平面平行.题型一 直线平面位置关系的判定例1:a、b、c是三条不重合的直线,是三个不重合的平面,现给出以下六个命题:ac,bcab;a,bab;c,c;,;c,bcb;a,a.其中正确的命题是()A.B.C.D.解析:利用线面关系加以判定.中a
3、与b可能相交或异面.对于,与可能相交.对于,b可能在内,对于,a可能在内.由公理4知正确.答案:C规律技巧:此类题目属于位置关系判定题,并且用符号语言来表示,是高考选择题考查立体几何的主要形式.其解题策略是借助于长方体等几何体模型,将符号语言转化为图形语言,利用淘汰法求解.变式训练1:是两个不重合的平面,在下列条件中可以判定的是()A.a,aB.内有三个不共线的点到的距离相等C.l,m.a,b ,且la,mbD.m,l为异面直线且l,m,l,m解析:对于AB,与可能相交,C没有m与l相交这个条件.答案:D题型二 面面平行的判定例2:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EFGPQR分别是
4、图中棱的中点,求证:平面PQR平面EFG.分析:由两平面平行的判定定理可知,由直线和平面平行可以证明两个平面平行.证明:PQA1C1ACEF,PQ平面EFG.同理PR平面EFG.又PQPR=P,平面PQR平面EFG.规律技巧:证明面面平行可证线面平行,又可转化证线线平行.因此,常用平行公理三角形中位线定理构造平行四边形等来证明.变式训练2:如图,ABC为不在同一直线上的三点,AA1BB1,CC1 BB1,求证:平面ABC平面A1B1C1.证明:AA1 BB1,四边形ABB1A1为平行四边形.A1B1AB.A1B1 平面ABC,AB平面ABC,A1B1平面ABC.同理可证:B1C1平面ABC.又
5、A1B1 平面A1B1C1,B1C1平面A1BC1,A1B1B1C1=B1,平面ABC平面A1B1C1.题型三 知识点的综合应用例3:如下图所示两个三角形ABC和A1B1C1的对应顶点的连线AA1BB1CC1交于同一点O,且(1)求证:平面ABC平面A1B1C1;(2)求的值.分析:用平面几何知识可以证明两直线平行.利用等角定理可以证明两个角相等,从而可以证明两个三角形相似.(1)证明:AA1BB1=O,且ABA1B1,又AB平面A1B1C1,A1B1平面A1B1C1,AB平面A1B1C1,同理BC平面A1B1C1,ABBC=B,平面ABC平面A1B1C1.(2)解:由(1)知,ABA1B1,
6、ACA1C1,且AB与A1B1,AC与A1C1方向相反.BAC=B1A1C1,同理ABC=A1B1C1.ABCA1B1C1.变式训练3:如图,已知点P为ABC所在平面外任一点,点DEF分别在PAPBPC上,并且求证:平面DEF平面ABC.证明:DEAB,又DE平面ABC,AB平面ABC,DE平面ABC.同理可证,EF平面ABC,又DEEF=E,EF 平面DEF,DE 平面DEF,平面DEF平面ABC.易错探究例4:命题“一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行”是否正确?并说明理由.错解:正确.因为它满足面面平行的定理.错因分析:对面面平行的判定定理认识不清,忽略了“相交”二字
7、,从而得出错误结论.正解:(1)当两条直线相交时,这两个平面平行.(2)当两条直线平行时,这两个平面平行或相交.因此,该命题不正确.基础强化1.,是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是()A.平面内有一条直线与平面平行,那么B.平面内有无数条直线平行于平面,那么C.若直线a与平面和平面都成相等的角,那么D.平面内所有的直线都与平面平行,那么答案:D2.平面平面,a,b,则直线a,b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面答案:D3.设三条互相平行的直线a、b、c中,a,b,c ,则与的关系是()A.相交B.平行C.平行或相交D.平行相交或重合答案:C4.是不重合的两个平面,在下
8、列条件中,可以判定的是()A.ABC,ABC,且ABCABCB.内有无数条直线平行于C.内有无数个点到的距离相等D.中任一条直线与平行答案:D5.若正n边形的两条对角线分别与平面平行,则这个正n边形所在的平面一定平行于平面,那么n的取值可能是()A.8 B.7 C.6 D.5解析:正5边形的对角线相交.答案:D6.夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系是_.答案:平行或相交7.若直线a平面,平面平面,则直线a与平面的关系是_.答案:a或a 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面AB1D1平面BDC1.证明:如右图所示,AB A1B1,C1D1 A1B1,AB
9、C1D1.四边形ABC1D1为平行四边形,AD1BC1.又AD1 平面BDC1,BC1平面BDC1,AD1平面BDC1.同理,B1D1平面BDC1,又AD1B1D1=D1,平面AB1D1平面BDC1.能力提升9.六棱柱的表面中,互相平行的平面最多有_对.解析:当六棱柱底面是正六边形时,互相平行的平面最多,其中三对侧面平行,两底面平行,共4对.410.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,MEFN分别是A1B1B1C1C1D1D1A1的中点,求证:(1)EFBD四点共面;(2)平面MAN平面EFDB.证明:(1)连结B1D1,EF分别是边B1C1和C1D1的中点,如右图.EFB1D1,而BDB1
10、D1,BDEF,EFBD四点共面.(2)MN分别是A1B1和A1D1的中点,MNB1D1,又B1D1BD,MNBD.MN平面EFDB,BD 平面EFDB,MN平面EFDB.连结DF,MF.MF分别是A1B1C1D1的中点,MF A1D1,MF AD.四边形ADFM是平行四边形,AMDF.AM 平面BDFE,DF 平面BDFE,AM平面BDFE,AMMN=M.故平面MAN平面EFDB.11.可以作为平面平面的条件是()A.存在一条直线a,a,aB.存在一条直线a,a,aC.存在两条平行直线a,b,a,b,a,bD.存在两条异面直线a,b,a,b,a,b答案:D12.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面,使得()A.A ,bB.a,bC.a,bD.a,b解析:当ab时,过a可以作一平面,使b;当a与b异面时,在a上取一点O,过O作bb,则a与b确定一个平面,则满足a,且b.答案:B
