1、梅州中学2012届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分，每题只有一个答案是正确的.1已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ ）ABCD2记等差数列的前项和为，若，则（ ）A16B24 C36 D48一年级二年级三年级女生373男生3773703某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A24B18 C16D12表14若变量满足则的最大值是（ ）A90 B80 C70 D405将正三棱柱截去三个角（
2、如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED6已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A BCD7设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）A B C D8在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）A B C D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分开始n整除a?是输入结束输出图3否（一）必做题（912题）9阅读图3的程序框图，若输入，则输出 ， .10已知（是正整数）的展开式中，的系
3、数小于120，则 11经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 12已知函数，则的最小正周期是 13.设都有则方程 .（二）选做题（1415题，考生只能从中选一题）14（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线与交点的极坐标为 15（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，是圆的直径，与圆交于点，则圆的半径 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写必要的出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分13分）已知函数，的最大值是1，其图像经过点（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值17（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二
4、等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？18（本小题满分14分）设，椭圆方程为，抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；AyxOBGFF1图4（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试
5、探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）19（本小题满分14分）设，函数，试讨论函数的单调性FCPGEAB图5D20（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，垂直底面，分别是上的点，且，过点作的平行线交于（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积21（本小题满分12分）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（）（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的前项和梅州中学2012年届理科数学热身题答案一、CDCC ADBB17.【解析】的
6、所有可能取值有6，2，1，-2；，故的分布列为：621-20.630.250.10.02（2）（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为ZXXKAyxOBGFF1图4依题意，即，解得 所以三等品率最多为18. 【解析】（1）由得，当得，G点的坐标为，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；19. 【解析】 对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数。20。【解析】（1）在中，FCPGEAB图5D而PD垂直底面ABCD，,在中，,即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为,由有,即 ;(2),而,即21. 【解析】（1）由求根公式，不妨设，得，（2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,两式相减，得，即，（3）把，代入，得，解得