1、2020-2021学年北京市密云区高三(上)期中数学试卷一选择题(共10小题).1. 已知集合,则AB=( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解出集合A,再进行AB.【详解】解:A=x|1x1,B=1,0,1,2,AB=0.故选:D.【点睛】集合的交并运算:(1)离散型的数集用韦恩图;(2) 连续型的数集用数轴2. 已知向量,且,则( )A. B. C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】由题意,利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式,求得m的值【详解】解:向量,则m=6,故选:C.【点睛】方法点睛:判断向量垂直或平行的方法:(1)若,则;(2)若,则.3. 下列函
2、数中,既是偶函数又在上单调递增的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性、奇偶性的定义及判断方法判断即可.【详解】对于A,函数是偶函数,在递减,不合题意;故A错误,对于B,函数是偶函数,在递增,合题意;故B正确,对于C,函数不是偶函数,不符合题意;故C错误,对于D,函数在不是单调递增,不符合题意;故D错误.故选:B.4. 将数列2n+1与3n2(n=1,2,)的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前4项的和为( )A. 35B. 60C. 64D. 95【答案】C【解析】【分析】分别写出等差数列2n+1和等差数列3n2的前几项,可得公共项为等差数列,代入公
3、式,即可得答案.【详解】等差数列2n+1的前几项为3,5,7,9,11,13,15,17,19,等差数列3n2的前几项为1,4,7,10,13,16,19,可得数列2n+1与3n2(n=1,2,)的公共项是首项为7,公差为6的等差数列,则an的前4项的和为.故选:C.5. 已知a=log34,b=3,c3=9,则a,b,c的大小关系是( )A. abcB. acbC. bcaD. ba1,且alog39=2,即a(1,2).b=3,b=log3log=1,则ba1,使得.”为假命题,可知,“”为真命题,恒成立,由,当且仅当时取等号,即a的最大值为3.故答案为:3.15. 设函数.若a=1,则f
4、(x)的值域为_;若f(x)在R上单调递增,则实数a的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】a=1,直接求值域;在同一个坐标系内作出和的图像,分析a的取值范围.【详解】解:若a=1,则,当x1时,f(x)=3x1(1,2,当x1时,f(x)=|x+1|2,f(x)的值域为(1,2(2,+)=(1,+);在同一平面直角坐标系内作出函数y=3x1与y=|x+1|的图象如图:由图可知,要使函数在R上的增函数,只需-1a1,则实数a的取值范围是1,1.故答案为:;.【点睛】由分段函数(数列)单调性求参数的取值范围的方法:(1)分段函数的每一段都单调;(2)根据单调性比较端点函数值
5、的大小.三解答题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. 已知函数.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)利用两角差的余弦公式,二倍角公式及辅助角公式,化简整理,可得,代入公式,即可求得周期T,将代入y=sinx的单调递增区间,即可求得的单调增区间;(2)根据x的范围,求得的范围,根据的最大值为,可得,即可求得答案.【详解】解:(1),所以f(x)的最小正周期为,因为函数y=sinx的单调递增区间为,所以,解得,所以f(x)的单调递增区间为.(2)当时,可得,因为f
6、(x)在区间上的最大值为,且当时,取最大值,所以,所以,即m的最小值为.17. 已知等差数列an的前n和为Sn,满足.(1)若,求数列的通项公式及前n项和;(2)若,且,求n的取值范围.【答案】(1)an=-2n+8,(n=1,2,3,),;(2)1n8,nN*.【解析】【分析】(1)由,得到,再由a3=2,求得a1,d即可.(2)根据a10,由,转化为n29n+80求解.【详解】(1)设等差数列an的公差为d, ,a3=2,a1+2d=2,解得a1=6,d=2,an=a1+(n1)d=-2n+8,(n=1,2,3,),.(2)a10,n29n+80,解得1n8.n的取值范围1n8,nN*.【
7、点睛】关键点点睛:本题第二问关键是确定公差d的符号,转化为一元二次不等式而得解.18. 在ABC中,再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)的值;(2)的面积.条件:;条件:.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】【分析】(1)若选,先利用余弦定理列出关于,的表达式,然后将及代入,得到关于的方程,解出,再利用正弦定理解出,则;若选,由可解出的值,然后可利用求解的值;(2)若选,根据(1)的结果可直接得出的值,然后运用求面积;若选,根据(1)的结果先计算得出的值,然后再联立可解出,的值,再运用正弦定理解得,从而得出面积.【详解】解:选择条件:(1)在中,由余弦定理,可得,解得,由
8、正弦定理,所以,因此,在ABC中,有.(2)当时,则.选择条件:(1)在中,因为,则,又因,所以,即.(2)在ABC中,由正弦定理,又因为,所以,又,利用正弦定理可解得则.【点睛】在利用正弦定理、余弦定理解三角形时,一般已知两角和其中一角的对边或或已知两边和其中一边的对角,可采用正弦定理求解;当已知两边及其夹角或已知一角及三边关系时可采用余弦定理求解.在解答的过程中有时需要用到三角恒等变换的公式,如和差角公式、降幂公式等.19. 已知函数,aR.(1)求的单调区间;(2)若对任意恒成立,求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】【分析】(1)先求导得,然后分和两种情况分类讨论,
9、得出原函数的单调区间;(2)若对任意恒成立,则只需满足成立,然后讨论函数在上的最值,利用最值求解即可.【详解】解:(1)函数的定义域为,.当时,在上恒成立,所以在上单调递增;当时,由,得,当时,单调递减,在时,单调递增.综上,当时,在上单调递增,没有减区间.当时,的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)对任意,恒成立,即在区间上,恒成立.因为在上单调递增,若,即当时,在上恒成立,则在区间上单调递增,故,可得:,符合题意;当,即时,若,单调递减,若,单调递增,又,依题意有,即,恒成立,可得符合题意;当时,即时,在上恒成立,函数在上单调递减,可得符合题意.综上,对任意,恒成立,的取值范围是.【点睛
10、】本题的难点在于(2)中根据不等式恒成立求参数的取值范围,一般地对于双变量问题且每个变量的取值互不影响时,可将问题转化为函数最值之间的比较,利用导数讨论函数的单调性及最值,根据题意列出含参数的不等式来求解.20. 已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设函数,若是函数g(x)的两个零点,求a的取值范围;求证:.【答案】(1)y=1;(2)(1,e1;证明见解析.【解析】【分析】(1)求出切线的斜率和切点坐标代入点斜式方程可得答案; (2)求出利用的单调性可得答案;不妨设x10,即a1,g(e)=1e+a0,即ae1,令x=ea,显然0ea1,有g(ea)=ea0,故a的取值范围是(1,
11、e1;证明:不妨设x1x2,由可知x1(0,1),x2(0,e),故,要证x1x21,即证,又,函数g(x)在(0,1)递增,即证,x1,x2(0,e)是函数g(x)的两个零点,故g(x1)=g(x2)=0,即证,只需证,令,则,当x2(1,e时,h(x2)0,故h(x2)在(1,e递减,h(x2)h(1)=0,故得证,故.【点睛】本题考查了导数的几何意义、根据零点求参数的范围的问题,关键点是构造函数利用函数的单调性求解,考查了学生分析问题、解决问题的能力.21. 对于实数数列an,记.(1)若m1=1,m2=2,m3=4,m4=8,写出a1,a2,a3,a4的值;(2)若数列an是等差数列,
12、求证:对任意三元数组(i,j,k)(i,j,k两两不相等),总有(ij)mk+(jk)mi+(ki)mj=0;(3)若对任意三元数组(i,j,k)(i,j,k两两不相等),存在常数c,使得(ij)mk+(jk)mi+(ki)mj=c,求证:an是等差数列.【答案】(1)a1= 1, a2=3,a3=8,a4=20;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据数列的递推公式代值计算即可;(2)根据等差数列的通项公式可得,根据已知条件可得,代换到,即求证;(3)先求出,取,得,可得数列是等差数列,根据等差数列的通项公式和求和公式即可证明【详解】解:(1),则,则,则,证明:(2)由等差数列的通项公式可得,可得,并注意到,于,;证明:(3)首项交换中的,可得,两式相加可得,于是对任意三元数组,两两不相等,总有,取,得,即,于是数列是等差数列,故,另一方面,于是,当时,用替换得,两式相减得,也满足上式,故是等差数列;【点睛】本题考查数列的递推公式,等差数列的通项公式求和公式,解答的关键是对等差数列的定义的理解