1、北京市丰台区2020-2021学年度高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 直线 倾斜角的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.【详解】直线化成斜截式为，因为 ，所以.故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.2. 以下现象是随机现象的是A. 标准大气压下，水加热到100，必会沸腾B. 长和宽分别为a，b的矩形，其面积为C. 走到十字路口，遇到红灯D. 三角形内角和为180【答案】C【解析】【分析】对每一个选项逐
2、一分析判断得解.【详解】A. 标准大气压下，水加热到100，必会沸腾,是必然事件；B. 长和宽分别为a，b的矩形，其面积为，是必然事件；C. 走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；D. 三角形内角和为180，是必然事件.故选C【点睛】本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3. 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是() A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【详解】解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率，故选C.4. 已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
3、】利用空间向量线性运算的坐标表示运算即可得解【详解】因为，则.故选：A.5. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由直线垂直可得直线的斜率，再由点斜式方程即可得解.【详解】因为直线的斜率为，直线与该直线垂直，所以直线的斜率，又直线经过点，所以直线的方程为即.故选：A.6. 如图，在平行六面体中，为与的交点若，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解.【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得 .故选：C.【点睛】在空间向量的线性运算时，要尽可能转化
4、为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.7. 甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为和，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解.【详解】因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为和，所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为：.故选：D8. 若平面的一个法向量为（1，2，1），A（1，0，1），B（0，1，1
5、），A，B，则点A到平面的距离为（）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接应用点到平面的距离公式即可求出点A到平面的距离.【详解】，根据点到平面的距离公式可得点A到平面的距离为.故选：B【点睛】本题考查了应用空间向量的数量积运算求点到面的距离，考查了数学运算能力.9. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为0.4. 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮中至多两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果. 经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 9
6、25 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮中至多两次命中的概率为（ ）A. 0.25B. 0.35C. 0.60D. 0.90【答案】D【解析】【分析】已知三次投篮共有20种，计算出三次全命中的事件的种数，然后再算对立事件的概率.【详解】三次投篮共有20种，三次全命中的事件有：431，113有2种，该运动员三次投篮中至多两次命中的概率故选：D.10. 已知一个古典概型的样本空间和事件，如图所示. 其中，则事件与事件（ ）A. 是互斥事件，不是独立事件B. 不是互斥事件，是独立事
7、件C. 既是互斥事件，也是独立事件D. 既不是互斥事件，也不是独立事件【答案】B【解析】【分析】由可判断事件是否为互斥事件，由可判断事件是否为独立事件.【详解】因为，所以，所以事件与事件不是互斥事件，所以，所以，所以事件与事件是独立事件.故选：B.二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11. 经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数012345概率0.10.160.30.30.10.04 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 【答案】0.74【解析】试题分析：表示人数，.考点：互斥事件的概率.12. 已知向量,且，则_【答案】-9【解析】【分
8、析】根据，由 ，求得即可.【详解】因为向量,且，所以 ，解得，所以 .故答案为：-913. 已知点B是点在坐标平面内的射影，则_.【答案】【解析】【分析】根据空间中点的对称关系得到B点的坐标，利用两点之间的距离公式得到结果【详解】点B是点在坐标平面内的正射影，B在坐标平面上，横标和纵标与A相同，而竖标为0，B坐标是，故答案为：.14. 已知过点的直线的方向向量为，点在直线上，则满足条件的一组的值依次为_【答案】；【解析】【分析】根据方向向量设出直线的方程，再由点求出其方程，从而得出，即可得出答案.【详解】直线的方向向量为，可设直线的方程为因为点在直线上，所以，即直线为所以，即可取，则故答案为：
9、；15. 已知直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_【答案】或【解析】【分析】按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解.【详解】当直线经过原点时，直线方程为：即，满足题意；当直线不经过原点时，设直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为即；综上所述，直线方程为或.故答案为：或.16. 如图，在长方体中，点在侧面上若点到直线和的距离相等，则的最小值是_ 【答案】【解析】【详解】如图在面A1ABB1建立P面直角坐标系，设P（x，y）（0x2，0y2）点P到直线AA1和CD的距离相等，即x2=y2+1A1P=当P（，1）时，A1P最小为.故填.点睛：本题直接解答比较困难，采用
10、坐标法比较简洁易懂，所以方法的选择很关键. 当我们遇到直角三角形、等腰三角形、矩形、长方体等有垂直关系的几何图形时，可以尝试利用坐标法解答,看是否简洁.三、解答题共4小题，共36分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17. 从两名男生（记为和）和两名女生（记为和）这四人中依次选取两名学生.（1）请分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样的样本空间；（2）求利用有放回简单随机抽样选到一名男生和一名女生的概率.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合列举法即可得解；（2）由列举法结合古典概型概率公式即可得解.【详解】（1）从两名男生（和）和两名女生（和）这四人中依次选
11、取两名学生，有放回简单随机抽样时，样本空间为：；不放回简单随机抽样时，样本空间为：；（2）由（1）得利用有放回简单随机抽样共包含16个基本事件，其中，选到一名男生和一名女生包含的基本事件有8个，分别为：，故所求概率.18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，.（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为、平面的一个法向量为，利用即可得解.【详解】（1）证明：因为侧棱底面，平面，所以；（2）由题意，底面是正方形，侧棱底面，则以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标
12、系，则，,所以，设平面的一个法向量为，则，令则，设平面的一个法向量为，则，令则，则，又平面与平面的夹角为锐角，所以平面与平面的夹角为.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是建立空间直角坐标系，将二面角转化为平面法向量的夹角.19. 甲、乙两人组成“明日之星队”参加“疫情防控与生命健康”趣味知识竞赛. 每轮竞赛由甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮答题中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.（1）求甲在两轮答题中，答对一道题目的概率；（2）求“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）两轮中答对一道题的情形为
13、：第一种情况：甲第一轮答对1题，第二轮答错1题；第二种情况：甲第一轮答错1题，第二轮答对1题；然后，根据以上情况，列式求解即可（2）答对三道题目的情况有：第一种情况：甲答对2道题，乙答对1道题；第二种情况：甲答对1道题，乙答对2道题；然后，根据以上情况，列式求解即可【详解】（1）设表示甲每轮答错1道题目的事件，表示甲每轮答对1道题目的事件，则，两轮中答对一道题的情况为，甲第一轮答对1题，第二轮答错1题和甲第一轮答错1题，第二轮答对1题，故概率为；（2）设表示甲答对表示乙每轮答错1道题目的事件，表示乙每轮答对1道题目的事件，则，“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的情况有：第一种情况：甲答对
14、2道题，乙答对1道题：第二种情况：甲答对1道题，乙答对2道题：所以，“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率为【点睛】解题关键在于把情况进行分类，通过分情况再列相关式子求解即可，难度属于中档题20. 如图，在直三棱柱中，.是的中点，是的中点，点在线段上，且，是与的交点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）存在，在靠近点的处.【解析】【分析】（1）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面一个法向量，求出，即证.（2）假设上存在点，令，利用线面角的向量求法可得，即可求解.【详解】如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，因为是的中点，所以，因为，所以，所以，设平面的一个法向量为，所以，即，令，则，所以，所以,所以平面. （2）假设上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，令，则，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得（舍去），所以存在点，在靠近点的处.【点睛】方法点睛：利用向量证明线面垂直的常用方法如下：证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直.证明直线的方向向量与平面内某一条直线的方向向量平行.证明直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示.
