1、5 简单的幂函数一、幂函数的概念如果一个函数,底数是自变量 x,指数是常量,即y=x,这样的函数称为幂函数,如y=x3,y=x4,y=x-2等都是幂函数.做一做1导学号91000076下列函数中是幂函数的是()y=axm(a,m为非零常数,且a1);y=x9;y=(x-1)3.A.B.C.D.全不是解析:由幂函数的定义知为幂函数,其他都不是,故选B.答案:B二、奇函数、偶函数的定义1.一般地,图像关于原点对称的函数叫作奇函数;图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.2.在奇函数f(x)中,f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0;在偶函数f(x)中,f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0
2、.3.当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称函数具有奇偶性.做一做2下列函数是偶函数的为()A.y=2|x|-1,x-1,2B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x-1,0)(0,1解析:选项A中,函数的定义域不关于原点对称,则函数不是偶函数;选项B中,f(-x)f(x),函数不是偶函数;选项C中,f(-x)=-x3=-f(x),函数是奇函数;选项D中,f(-x)=x2=f(x),且定义域也关于原点对称,所以函数是偶函数.答案:D做一做3下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1B.y=-x2C.D.y=x|x|解析:对于A,非奇非偶;对于B,是偶函数;对于C,是奇函数,但不是
3、增函数;对于D,令f(x)=x|x|,f(-x)=-x|-x|=-f(x),函数是增函数,只有D满足.答案:D 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)二次函数一定是幂函数.()(2)奇函数的图像一定过原点.()(3)偶函数的图像一定是轴对称图形.()(4)既是奇函数又是偶函数的函数只有f(x)=0,xR.()探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一幂函数及其简单应用探究一探究二探究三探究四易错辨析(2)列表如下:函数图像如图所示.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析解析:(1)设幂函数的解析式为y
4、=x,则=-2.y=x-2.(2)的底数是变量,指数是常数,且系数为1,因此是幂函数;中x2的系数为2,因此不是幂函数;是由幂函数复合而成的函数,因此不是幂函数;不符合幂函数中x前的系数为1,因此不是幂函数.答案:(1)B(2)探究一探究二探究三探究四易错辨析探究二判断函数的奇偶性【例2】导学号91000077判断下列函数的奇偶性:(3)f(x)=x2+1.分析:判断函数的奇偶性先要观察函数的定义域是否关于原点对称,再利用f(x)与f(-x)的关系进行判断.解:(1)函数的定义域为(-,-1)(-1,+)不关于原点对称,故函数f(x)既不是奇函数,又不是偶函数.(2)函数的定义域为R.f(-x
5、)=(-x)3-2(-x)=-(x3-2x)=-f(x),函数f(x)=x3-2x是奇函数.探究一探究二探究三探究四易错辨析(3)函数的定义域为R.(方法一)f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),函数f(x)=x2+1是偶函数.(方法二)画出y=x2+1的图像如图,由图可知其图像关于y轴对称.故函数f(x)=x2+1是偶函数.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析变式训练2判断下列函数的奇偶性:探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析探究三奇、偶函数图像的应用【例3】奇函数f(x)的定义域为-5,5,其
6、y轴右侧的图像如图所示,则f(x)0的x的取值集合为.分析:奇函数的图像关于原点对称,据此可作出f(x)在-5,0)上的图像,然后找出图像位于x轴下方的部分即得x的取值集合.探究一探究二探究三探究四易错辨析解析:奇函数f(x)在-5,5上的图像如图所示,由图像可知,x(2,5)时,f(x)0.因为其图像关于原点对称,所以x(-5,-2)时,f(x)0;x(-2,0)时,f(x)0,所以使f(x)0的x的取值集合为x|-2x0,或2x5.答案:x|-2x0,或2xf(-1),f(3)f(1).方法二:函数y=f(x)是偶函数,其图像关于y轴对称,如图所示,由图像知,f(3)f(1).探究一探究二
7、探究三探究四易错辨析探究四函数奇偶性的综合应用【例4】导学号91000078(1)已知f(x)=是奇函数,求实数m的值;(2)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时,f(x)=-x+1,求x0时,f(x)的解析式.分析:(1)利用定义法或取特殊值法求解;(2)设x0,先求出f(-x),再由奇函数满足的关系式求得f(x).探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析解:f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).f(-0)=-f(0),f(0)=0,a=0.设x0,则-x0时,f(x)=3x2-2x+5.由f(
8、x)是奇函数知f(-x)=-f(x).-3x2-bx+c=-(3x2-2x+5).探究一探究二探究三探究四易错辨析-b=2,c=-5,b=-2,c=-5.当b=-2,c=-5,x0,故f(-x)=3x2+2x+5,即-f(-x)=-3x2-2x-5.故f(-x)=-f(x),则当x0时,有f(x)=x(x-1),-x0,f(-x)=-(-x)(-x+1)=x(1-x)=-x(x-1)=-f(x).当x0,f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1)=-f(x).当x=0时,f(0)=0,f(-0)=0=-f(0).对xR,均有f(-x)=-f(x).f(x)为奇函数.1 2 3 4 5 61 2
9、 3 4 5 61 2 3 4 5 63.下列说法正确的是()A.y=x(-1x1)是奇函数B.若f(x)是奇函数,则f(0)=0C.偶函数在关于y轴对称的两个区间上的单调性相反D.y=x3+1是奇函数解析:A错,因为奇函数、偶函数的定义域关于原点对称,而y=x(-1x1)的定义域关于原点不对称;B错,如f(x)=是奇函数,但当x=0时无意义;C正确,D错,故选C.答案:C1 2 3 4 5 64.若f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)=x2+4x,则f(2)=.解析:因为f(x)是偶函数,所以f(2)=f(-2)=(-2)2+4(-2)=-6.答案:-61 2 3 4 5 65.
10、如图所示,给出奇函数y=f(x)的局部图像,则f(-2)的值是.1 2 3 4 5 66.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x0-1;(3)f(x)=x2+ax+1(a为常数);(4)f(x)=|x+4|-|x-4|.解:(1)函数的定义域为x|xR且x0,又f(x)=x0-1=0,f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),函数f(x)既为偶函数又为奇函数.(2)x=-2时函数有意义,而x=2时函数无意义,函数的定义域不关于原点对称.函数f(x)是非奇非偶函数.1 2 3 4 5 6(3)函数定义域为R关于原点对称,又f(x)=x2+ax+1,f(-x)=x2-ax+1.当a=0时,f(x)=f(-x),此时函数f(x)为偶函数;当a0时,f(x)f(-x),f(x)-f(-x),此时函数f(x)为非奇非偶函数.(4)函数定义域为R关于原点对称,又f(x)=|x+4|-|x-4|,f(-x)=|-x+4|-|-x-4|=|x-4|-|x+4|.f(-x)=-f(x).函数f(x)为奇函数.
